具奇异的微分方程具有广泛的应用性,它可以用来描述许多物理化学问题,例如布里渊聚焦系统(Brillouin focusing system),非线性弹性力学(nonlinear elasticity)和玻色-爱因斯坦凝聚态(Bose-Einstein condensate).除此之外,人们还发现,奇异微分方程理论在研究拉格朗日方程周期解的李雅普诺夫稳定性问题中也扮演非常重要的角色.因此,研究具奇异的微分方程周期正解和同宿解的存在性问题具有重要的理论价值和现实意义,该项研究拓展了微分方程周期解和同宿解的研究领域,丰富了微分方程的研究内容.本文利用Mawhin重合度拓展定理和一些分析方法研究了两类具奇异的泛函微分方程,证明出了方程周期正解存在的新结果,然后在周期正解研究的基础之上,进一步研究了同宿解的存在性问题.全文共分为四章:第一章主要介绍了具奇异的微分方程的相关的研究进展情况以及该类方程的背景知识,并且还介绍了本文的主要工作、内容安排以及一些预备知识.第二章主要应用Mawhin重合度拓展定理以及一些必要的分析方法,探讨了一类具奇异的平均曲率方程周期正解的存在性问题.第三章主要应用Mawhin重合度拓展定理以及相关必要的不等式,探讨了一类具奇异的Lienard型中立型方程周期正解的存在性问题.第四章主要应用Mawhin重合度拓展定理以及相关必要的引理,探讨了一类n-维p-Laplacian平均曲率方程同宿解的存在性问题.我们的工作丰富和完善了已有的研究成果,特别是具奇异的中立型方程周期正解存在性问题还是首次被探讨.