【摘 要】
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Ricci孤立子的概念是由R.Hamilton在80年代中期提出的,它是Ricci流的自相似解,在Ricci流奇异性的研究中起着重要作用,同时也是爱因斯坦流形的自然推广.本论文主要研究在某些曲率条件下梯度Ricci孤立子的刚性及相关问题,包括具调和Weyl曲率的梯度Ricci孤立子的刚性,具调和曲率张量的真空静态空间和CPE度量空间的分类,以及积分Bakry-（?）mery Ricci曲率条件下M
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Ricci孤立子的概念是由R.Hamilton在80年代中期提出的,它是Ricci流的自相似解,在Ricci流奇异性的研究中起着重要作用,同时也是爱因斯坦流形的自然推广.本论文主要研究在某些曲率条件下梯度Ricci孤立子的刚性及相关问题,包括具调和Weyl曲率的梯度Ricci孤立子的刚性,具调和曲率张量的真空静态空间和CPE度量空间的分类,以及积分Bakry-（?）mery Ricci曲率条件下Myers型定理的推广.第一章,我们回顾了梯度Ricci孤立子及相关问题的背景知识和最新进展,并在此基础上给出了本论文的主要研究结果.第二章,我们主要研究了具调和Weyl曲率的完备梯度稳定型Ricci孤立子的分类问题.具体地,我们证明了n维（n≥5）具调和共形Weyl曲率的完备梯度稳定型Ricci孤立子要么是Ricci平坦的,要么在相差伸缩变换的意义下等距于Bryant孤立子.其次,我们得到了具调和共形Weyl曲率的完备梯度膨胀型Ricci孤立子的分类结果.事实上,我们还给出了n维（n≥5）具调和Weyl曲率的连通（不需要完备）梯度Ricci孤立子的局部结构定理,从而推广了J.Kim（[77]）关于此问题n=4时的结果.第三章,我们主要研究了n维（n≥5）具调和曲率的真空静态空间的分类问题,推广了J.Kim-J.Shin（[78]）关于此问题n=4时的工作,同时给出了Fischer-Marsden猜想（任何紧致真空静态空间一定是爱因斯坦流形）的新反例.第四章,我们主要对Besse猜想进行了研究,即任何紧致CPE空间一定是爱因斯坦流形.我们给出了此猜想的反例,并分类了具调和曲率的完备CPE空间,同时分类了具调和曲率的临界点空间.事实上,对于临界点空间,我们还证明了具调和曲率的条件等价于具常数量曲率且张量D平坦.最后我们得到Besse猜想成立当且仅当紧致CPE空间的无迹Ricci平均值消失.最后一章,我们主要研究积分Bakry-（?）mery Ricci曲率条件下光滑度量测度空间的直径估计.首先我们修正了文献[124]中的比较定理,然后利用这些比较定理得到了积分Bakry-（?）mery Ricci曲率条件下的Myers型定理.这一结果推广了S.Myers和E.Aubry的工作.
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