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用An表示具有n个六边形的多联苯链的集合.对于任意的An∈An,设mk(An)和ik(An)分别是An的k-匹配和k-独立集的数目.在本文第一章中，我们证明了对于任意的多联苯链An∈An及任意的k≥0,有mk(Mn)≤mk(An)≤mk(On)及ik(Mn)≥ ik(An)≥ ik(On),左边等号对于任意的k 成立当且仅当An=Mn,右边等号对于任意的k 成立当且仅当An=On,其中Mn和On分别是meta-链和ortho-链.我们还得到了他们的匹配及独立集递推关系式.
一个图G的点Padmakar-Ivan（Piv)指标定义为[meu(e|G)+mev(e|G)]的和，求和取遍图G的所有边e=uv,其中meu(e | G)表示图G中到顶点u的距离比到顶点v的距离更近的点的数目, mev(e j G)表示图G中到顶点v的距离比到顶点u的距离更近的点的数目.在本文第二章中,我们给出了几个和图的点PI 指标的表达式.
定理2.2.2.对于任意的An ∈ An, n ≥ 3,有mk(Mn)≤ mk(An)≤ mk(On).
另外,上式等号对于任意的k 成立当且仅当An=Mn 或者An=On.定理2.3.2.对于任意的An ∈ An和任意的k≥ 0,有ik(On)≤ ik(An)≤ik(Mn).
另外,对于任意的k，上式左边等号成立(右边等号成立)仅当An=On（An=Mn).
定理3.2.1.设G1和G2 是两个连通图.那么
Piv(G1+S G2)=（| V1 |+| E1 | )（|V1||V2||E2||V1| n(G2)+2 | V2|2|E1| )
设e=uv 是图G的一条边.我们用N(u,v)(G)来表示满足d(u; u ′ )=d(v, u′ )的所有顶点u′的集合,用n(u,v)(G)来表示集合N(u,v)(G)的阶,即n(G)=Σ nv ∈ E(G)/n{u,v)(G).
定理3.2.2.设G1和G2是两个连通图.那么
Piv(G1+R G2)=（|V1|+|E1|)[(|V1||V2||E2||V1|n(G2)+3 |V2|2|E1|]|V2|2 n(R(G1)).