设N表示全体正整数组成的集合。众所周知,任何正整数n可以唯一地表示为n=a0+a1b+…+ambm,其中整数b>1为整数基,ai为系数,ai∈{0,1,…,b-1},0≤i≤m。我们给定一个整数基b>1,令Bk（b）表示上式中系数a1,a2,…,am中不为0的个数恰为k的正整数的集合。对于特定的正整数序列S,一般来说,交集S∩ Bk（b）是一个有限集。但要证明这一结论是非常困难的。若S由平方数全体构成,则S∩ B3（b）并不是有限的（（1+bl）2=1+2bl+b2l,l∈N）。2013年,M.Bennett研究了 b=3的情况并证明一些结论,在对n5的三进制展开式进行分类时,Bennett研究方程2δ13a+2δ2=n5,a>0,δi∈{0,1}和 2δ13a+2δ23b+2δ3=n5,a>b>0,δ,∈{0,1}。并证明除（δ1,δ2,δ3）=（0,0,1）外,方程均无解。因此只余下（δ1,δ2,δ3）=（0,0,1）的情况,即3a+3b+2=n5。同年,S.Singh研究了方程3a+3b+2=n5,并得到了以下结论:若a≥b>0,n∈N,则当2<n≤2+6.106时,丢番图方程3a+3b+2=n5无正整数解。基于此,我们用因式分解、同余、三进制和丢番图逼近等初等方法证明了若a≥b>0,n∈N,则方程3a+3b+2=n5的唯一正整数解是（a,b,n）=（3,1,2）。