传热学是一门与人类生活息息相关的学科,需要有效的方法来探索和解决实际工程及现实生活中的热传导问题。由于实际问题的复杂性,利用各种数值方法来求解实际的热传导问题成为传热学研究的重点之一。本文主要基于网格方法(有限元)、无网格方法(RBF)以及有背景网格的“类”无网格法(光滑有限元)来构建高效、稳定的数值模型,解决以下复杂而重要的热传导问题:(1)问题域边界随时间变化的热传导问题;(2)逆向边值定解问题;(3)物体边界重构的热传导问题;(4)Cauchy不适定热传导反问题。首先,作者对大型设备内部边界随时间变化的热传导问题进行研究,如流动的钢水对炼钢炉炉壁侵蚀,使得炉壁内部边界随时间变化。在标准FEM解决非稳态热传导问题时,时间项采用常规的有限差分法,所以在时间推进的过程中需要上一时刻的节点温度。但是因为边界的变化导致不同时刻网格的变化,从而使得部分节点温度缺失。因此,本文提出了两种不同的FEM模型来计算有移动边界的非稳态热传导问题。第一种模型是通过扩展的插值模型来计算上一时刻缺失的节点温度,然后再利用标准FEM算法计算当前时刻的温度分布。该模型可以获得较精确的解,但是因为需要在单元中进行额外的插值,运算时间较长。在第二种模型中,考虑到边界随时间变化,使得节点温度不仅与时间相关,而且与边界变化率相关,因此基于全微分公式,通过数学推导获得一个修正项公式。修正项消除了因为直接采用标准FEM模型求解移动边界非稳态热传导问题带来的误差,从而作者建立了一个统一的处理边界固定和边界移动问题的FEM算法。并通过大量数值实例,说明第二种模型更精确,而且运算速度也比第一种模型提高了10%左右。作者研究的第二个比较复杂的热传导问题是具有不适定性的Cauchy反问题。首先从标准FEM系统方程中分块抽取出与Cauchy边界热流相关的局部节点温度方程组,然后建立Cauchy边界上已知热流与局部节点温度方程组的关系,最终建立未知热流方程组,将该问题转换成一个正问题求解。为了消除反问题的不适定性,获得稳定、可靠的数值结果,作者采用SVD方法来消除“不稳定模态”。即依靠截断一部分小特征值来防止输入误差的扩大。为了能够自动选择截断特征值的个数,本文提出了一个自动选择算法:通过选择近似热流值和给定热流差值的最小值来确定最合适的特征值个数。接下来,作者探索利用径向基函数建立一个独特的时空统一模型来求解混合介质墙的非稳态Cauchy反问题。并深入研究混合介质墙内侧的边界重构问题。实际工业生产中,通过传感器获取炼钢炉外表面的温度和热流,本文通过将时间和空间统一处理,建立时空统一的RBF反问题模型来求解混合介质内侧的温度。在时空统一模型中,设置“影响因子”来调整时间和空间对于“距离”的影响。此外,该模型没有采用常用的逐层求解的办法,而是形成多层统一的整体方程组,避免了逐层求解中带来的误差积累。为了获得更加精确的解,本文提出了一种自动算法来选择每层的形状参数c:最合适的c可以使得近似温度值和给定温度值的误差最小。为消除反问题的不适定性,本章利用Tikhonov正则化方法来保证RBF统一时空模型能获得稳定、精确的解。对于边界重构问题,需要在上述时空统一的RBF反问题模型基础上设置一个虚拟边界,通过查找满足内部边界温度要求的节点位置来模拟动态变化的内部边界。在本论文研究的第四个复杂问题中,作者建立一个通用、高效的S-FEM求解器来解决2D和3D的稳态及非稳态的热传导问题。S-FEM是近年来G.R.Liu提出的一种新的数值方法,具有许多FEM不具备的独特性质。本文提出的高效、精确的算法能实现不同的S-FEM模型,与当前研究人员普遍采用的面积/体积平均的方法不同,本文实现的光滑域线段/光滑域子面积分的方法更通用、效率更高。因为该方法不仅可以应用到线性单元中,而且可以直接运用到高阶元,因此本文提出的求解器更通用、性能更高。这也是第一篇严格按照G.R.Liu弱弱理论实现S-FEM方法的文章。此外,作者还提出了建立不同2D和3D光滑域的高性能算法,并在建立光滑域的过程中获得所有关系矩阵以及计算光滑温度梯度矩阵所需要的数据。在这个过程中,一个非常简洁的算法被提出来计算高斯点处单位法向量的方向。为了提高求解器的运算速度,所有数据都保存到数据库中,减少查询和读取的时间。在后处理部分,利用光滑域光滑温度梯度重构了背景网格节点以及单元的温度梯度。在通用S-FEM稳态热问题模型的基础上,采用不同的差分格式建立S-FEM非稳态热问题求解算法,并通过大量数值实验,讨论不同S-FEM模型在不同差分格式中表现出的数值特性。在作者研究的第五个热传导问题中,S-FEM方法被用来求解不适定的Cauchy热传导反问题。利用矩阵分块技术,从S-FEM系统方程组中抽取和未知热流相关的局部节点温度方程组,结合Cauchy边界热流和局部节点温度方程组关系,建立基于光滑域的热流方程组。虽然和第二个问题的模型相似,但是S-FEM反问题模型基于光滑域,可以获得更精确的解。为了比较不同正则化方法,作者分别采用SVD和Tikhonov方法用来消除热流方程组系数矩阵的奇异性。同时,本文还通过数值实例结果,讨论了ES-FEM和NS-FEM在求解Cauchy热传导反问题时表现出的不同数值特性。