【摘 要】
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本文旨在研究退化抛物方程的可控性理论.主要讨论了具对流项的退化抛物方程与具超线性源的退化抛物方程的零可控性.本论文共分为两部分.在第一部分中,我们研究了具对流项的退化抛物方程的零可控性.其中对流项与方程的退化性无关,且对流项不受扩散项控制.对于零可控性问题的关键是建立相应的Carleman估计.而我们研究的是在边界发生退化的方程,当对流项也在边界具有一定的退化性时,对流项对Carleman估计不会
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本文旨在研究退化抛物方程的可控性理论.主要讨论了具对流项的退化抛物方程与具超线性源的退化抛物方程的零可控性.本论文共分为两部分.在第一部分中,我们研究了具对流项的退化抛物方程的零可控性.其中对流项与方程的退化性无关,且对流项不受扩散项控制.对于零可控性问题的关键是建立相应的Carleman估计.而我们研究的是在边界发生退化的方程,当对流项也在边界具有一定的退化性时,对流项对Carleman估计不会带来本质的困难,而我们考虑的问题是具一般的对流项,因此会对建立Carleman估计造成本质的困难.通过恰当的变换,将对流项与扩散项当做一个整体进行处理,建立了相应问题的Carleman估计.第二部分包含第二章与第三章,主要讨论具超线性源退化抛物方程的零可控性.首先在第二章中,我们证明了具超线性源退化较弱的抛物方程的零可控性.而证明的关键是建立相应的Carleman估计.我们引入了能量权函数,先建立了正则化问题的Carleman估计.由于源项在无穷远处的行为,我们只能建立较弱的退化情形下的Carleman估计.通过Carleman估计我们可得到能观不等式.由于源项是超线性的,在建立能观不等式时,我们详细地描述出了能观不等式中的系数与各因素的依赖关系.在第三章中,我们研究更一般的具超线性源的退化抛物方程的零可控性.即我们既考虑弱退化情形又考虑强退化情形.我们证明的难点是建立不同退化情形下的Carleman估计.我们先建立正则化问题的Carleman估计.而方程的超线性源会给Carleman估计带来新的困难.我们选取了适当的能量权函数,在不同的退化条件下建立了相应的Carleman估计.进一步我们得到了相应问题的能观不等式.由于源项是超线性的,我们详细地描述出了能观不等式中的系数与各因素的依赖关系.
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