随着孤子理论研究的深入,人们发现非线性系统中完全可积的方程都存在孤子解。近几十年来出现了许多求孤子方程精确解的方法,如:反散射方法、Hirota双线性方法、B?cklund变换(BT)等。其中反散射方法、Hirota双线性方法对孤子理论的发展起着不可磨灭的作用,人们发现能用反散射法求精确解的方程也能用BT求解。Hirota双线性方法属于构造性求解,这种求解法不依附于方程的Lax对或者谱问题,具备简便、直接的特点。相对而言,BT可以由求出的一个解可以利用关系式直接写出另一个解,进而获得许多新解,但难点在于找出其中的变换关系式。学者们通过研究发现了双线性形式的BT,使求解更简单明了。近几年来人们愈加关注分数阶问题,精确求解分数阶方程比较难,仍处于初始阶段。本文的主要工作概括如下:首先,从Schr?dinger线性谱问题及其时间发展式(即Lax对)出发,利用本征函数的相容性条件,通过引入有限多个只与时间有关的任意函数,推出一个新的Lax可积变系数KdV族。同时得到变系数KdV族中一个变系数KdV方程的双线性形式BT,基于找到的BT,得到这个变系数KdV方程的单孤子解、双孤子解、三孤子解,进而归纳出n孤子解。其次,通过利用分离变量法和Mittag-Leffler函数的性质求解一类变系数Caputo时间-分数阶类热-波动方程的初边值问题,最终得到此变系数时间-分数阶类热-波动方程新精确解的一个统一表达式。为进一步确定所求得的精确解,考虑了三个带有初边值条件的具体类热-波动方程,并分别得到其精确解,所获得的精确解包括一些已知解为特例。研究结果表明,变量分离法可以用来求解科学与工程中的一些其他时间-分数阶类热-波动方程。