图的直积运算具有许多很好的结构性质,其中之一是满足消去律,即:对任意两个图G和H以及正整数k,Gk≌Hκ当且仅当G ≌H,这里Gκ表示G的直积k次幂。Hammack和Liversay定义了图的一种新的乘积运算,称为图的k次内幂运算,并希望该运算也具有消去律,但随后他们很快注意到这一结论当k是偶数时是不正确的。尽管如此,他们猜想当k是奇数时结论是成立的。从定义不难看出图的内幂运算非常类似于图的直积运算。因此,除了消去律,研究者还研究了内幂运算的其它结构性质,如连通性、二部性、哈密尔顿性等。坚韧度(toughness)是Chvatal于1973年引入的一个图的不变量,主要用来衡量一个图的各个部分之间连接的紧密度。Chvatal确定了一些特殊图类的坚韧度并研究了坚韧度与哈密性之间的关系。1990年,Goddard和Swart证明了非平凡的树的坚韧度为树的最大度的倒数,确定了完全图与路的笛卡尔乘积图的坚韧度以及完全图与圈的笛卡尔乘积图的坚韧度,并给出了路与圈的笛卡尔乘积图和圈与圈的笛卡尔乘积图的坚韧度的上界。2007年,Mamut和Vumar确定了两个完全图的笛卡尔乘积图的坚韧度。最近,Guji和Ali给出了完全图与路的直积图的坚韧度。本文研究图的内幂运算的连通性、独立数和坚韧度。得到了以下结果:1.证明了完全图和圈的二次内幂的连通度等于其顶点的最小度;2.确定了完全图的二次内幂的坚韧度;3.给出了圈二次内幂坚韧度的上、下界,并证明:当k≥ 3时,圈和路的k次内幂坚韧度等于0.