R.Nevanlinna创立的值分布理论（也称Nevanlinna理论），以两个基本定理和亏量关系式为核心内容，被著名数学家WeyL评价为20世纪最优美的数学分支之一，而关于亚纯函数的唯一性理论是Nevanlinna理论的重要组成部分，它主要讨论在什么情况下只存在一个函数满足所给的条件，比如多项式除了一个常数因子外，由其零点唯一确定，然而对于超越整函数（或一般的亚纯函数）来讲，情形有极大的差异.Nevanlinna证明了超越亚纯函数由5个IM分担值唯一确定（称为Nevanlinna五值定理），分担4个CM公共值的超越亚纯函数相差一个Mobius变换（称为Nevanlinna四值定理），所以细致研究亚纯函数唯一性是十分重要的.近几十年来，它备受许多学者关注，借助R.Nevanlinna创立的值分布理论深入研究五值定理，四值定理，三值定理，或加权分担值集等唯一性问题，成为活跃的研究领域，国内外的众多数学家及学者己取得了丰硕研究成果.最近几年，亚纯函数唯一性理论的研究已经推广到了差分，非阿基米德，多复变等领域.尤其是差分领域，这一新课题一出现，就引起了许多数学学者的兴趣.W.Bergweiler，R.G.Halburd，Yik-Man Chiang等都已经得到了许多很好的结果.　　 本文主要介绍就与分担值集有关的零级亚纯函数及其q差分的唯一性问题所做的一些研究.全文共分三章，主要内容如下：　　 第一章概述了本文的研究背景，R.Nevanlinna基本的理论，以及后面两章中用到的唯一性的结论和一些记号.　　 第二章主要研究了零级亚纯函数及其q差分的分担值集和唯一性问题，推广并改进了仪洪勋，J.Heittokangas等人的结果，主要结果如下　　 定理1.设f(z)为零级非常数亚纯函数，q为非零复数，S1={1，w…，Wn-1}，S2={∞},其中n为正整数，ω=ext(2πi/n),如果Ef(z)(Sj)=Ef(qz)(Sj)(j=1,2),则当n≥4时，f(z)≡±tf(qz),其中tn=1.　　 当f(z)为整函数，条件n≥4可以减弱为n≥3，如下　　 推论1.设f(z)为零级非常数整函数，q为非零复数，S={1，ω，…，ωn-1},其中n为正整数，ω=exp(2πi/n),如果Ef（z）(S)=Ef(qz)(S),则当n≥3时，f(z)≡±tf(qz),其中tn=1.　　 若适当选取S1，我们可以完全确定f(qz).　　 定理2.设f(z)为零级非常数亚纯函数，q为非零复数，m≥2，n≥2m+4,n和n-m没有公因子，a和b为使方程ωn+aωn-m+b=0没有重根的2个非零复数.S1={ω｜ωn+aωn-m+b=0},S2={∞},如果Ef(z)(Sj)=Ef(qz)(Sj)(j=1,2),则f(z)≡f(qz).　　 当f(z)为整函数，变数的条件可以减弱为n≥5，如下　　 推论2.设f(z)为零级非常数整函数，q为非零复数，a和b为使方程ωn+aωn-m+b=0没有重根的2个非零复数，n为正整数.S={ω｜ωn+aωn-m+b=0},如果Ef(z)(S)=Ef(qz)(S),则当n≥5时，f(z)≡f(qz).　　 第三章主要研究了关于零级亚纯函数及其q差分多项式的共担小函数和唯一性问题，在适当条件下，我们得到F-a的下界.　　 定理3.设f(z)为零级超越亚纯函数，a(z)为f(z)的小函数，F(z)=Пnj=1f(qjz)uj,qj(j=1,2,…,n)为判别非零负数，uj(j=1,2,…,n)为正整数.u=Σnj=1uj≥3，且至少有1个uj≥2，若f(z)的极点收敛指数为0，则在对数密度为1的集合上，F(z)-a(z)有无穷多个零点且　　 N(r,1/F(z)-a(z))≥T(r,f)+S(r,f).　　 考察差分多项式f(z)n(f(z)-1)f(qz)一a(z)，我们可以得到　　 定理4.设f(z)为零级超越整函数，a(z)为f(z)的小函数，q为非零复数，n为正整数，则在对教密度为1的集上，当n≥2时，f(z)n(f(z)-1)f(qz)-a(z)有无穷多个零点.　　 对于差分多项式，我们还可以得到唯一性方面的结果　　 定理5.设f（z)和g(z)为两个零级超越整函数，a(z)为f(z)和g(z)的小函数，q为非零复数，n(≥7)为正整数，若f(z)n(f（z）-1)f(qz)与g(z)n(g(z)-1)g(qz)CM分担a(z)，则在对数密度为l的集上，f(z)≡g(z).