在过去的数十年里,尽管计算机的速度和内存都有很大提高,但很多实际问题的数值模拟仍需在很多简化下才可完成。也就是说,现有的计算机能力对付过多的自由度仍然有很多困难。在这种情形下,自适应算法应运而生,并在理论和实际应用上得到了广泛的重视。自适应网格方法是一种用来解决微分方程近似解的重要计算方法。把它应用在边界层和内层问题的近似解上是非常有效的。针对奇异摄动问题的自适应方法,我们做了一些基础性的研究。利用插值的思想,得到了基于导数误差的自适应移动有限元方法。针对椭圆型奇异摄动问题差分格式,在Bakhvalov-Shishkin网格下,我们通过构造网格函数并利用比较定理等证明了数值解一致一阶收敛于真解。　　我们将自适应移动网格方法成功地应用于解决化工过程模拟与优化中涉及到一类流体计算问题。Luo等人提出了一个基于修正的Prandtl混合长概念的圆管湍流速度分布模型。这是一个控制问题,其数学模型是带边界层的非线性奇异摄动微分方程。我们通过迭代方法求解控制问题,利用自适应移动网格方法抓住奇异摄动微分方程的边界层,用Newton-Raphson方法求解非线性方程组,有效地求解了该问题。通过在流体速度,涡流粘性,摩擦因子等方面与实验结果的比较,表明这个新的模型比之前的一些模型更适合于描述圆管湍流的情况。　　带表面活性剂的两相流是实验流体力学、理论流体力学和计算流体力学中的十分活跃且极具挑战性的重要课题。我们提出一种基于水平集方法求解带表面活性剂的两相流问题,在该方法中,我们用水平集函数来跟踪流体的交界面,把流体压力张量在界面处的Laplace-Young间断条件作为奇异界面力通过水平集函数写到流体的动量方程中。在计算方法中,我们首先用一种包含界面的小支集的光滑函数来近似表示奇异界面力的Delta函数,然后用一种二阶精度的投影方法求解正则化了的Navier-Stokes方程组,由此得到的速度场用来计算下一个时间步的水平集函数,以及活性剂的浓度。我们用高阶TVDRunge-Kutta方法和高阶WENO方法来求解水平集函数的运输方程,用一种二阶精度的Euler方法来求解活性剂在流体交界面上的运输扩散方程。我们的这一套方法简单易行,可直接推广到三维问题。我们针对Navier-Stokes剪切流中有一个带不可溶活性剂的小液滴的情况,进行了大量的数值模拟实验,我们的计算结果符合物理规律,特别是我们发现Marangoni力会阻碍小滴的拉伸。