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量子齐次空间是Hopf代数的一类右余理想子代数，它们可看作Lie群理论中齐次空间的一种量子形变.由于量子商群(即子Hopf代数)的缺乏，量子齐次空间作为一类更广泛的对象，引起了数学家的极大兴趣.在过去的几十年里、它们已经在数学物理，非交换几何等领域被广泛地研究.本文主要研究齐次空间的同调性质，以及对某些量子群的量子齐次空间进行分类。
具体地，本文研究了量子齐次空间的各种同调维数，Auslander条件，对偶复形等同调性质.我们推导出一些结论，特别是建立了AS-Gorenstein量子齐次空间上的Van den Bergh对偶.文献[BZ08]中关于Hopf代数的一些结论也被推广到量子齐次空间情形。
在对量子齐次空间的刚性对偶复形进行研究之后，本文回顾了twistedCalabi－Yau代数的概念.一个twisted Calabi-Yau代数是Ginzburg意义下的Calabi-Yau代数[Gin06]当且仅当它的Nakayama自同构是一个内自同构.所以如何计算twisted Calabi-Yau代数的Nakayama自同构就成了一个关键课题。
受[KT81]，[Sch92]的启发，我们对量子齐次空间定义了正规基性质.这一性质在证明AS-Gorenstein性质，确定同调积分和Nakayama自同构等方面起着重要作用。
我们注意到这样的事实，当量子包络代数Uq(g)的量子齐次空间包含于量子Borel部分时，便可通过累次Ore扩张实现.本文首先证明了Ore扩张保持twisted Calabi-Yau性质，并且描述了扩张前后Nakayama自同构之间的关系.由此可以推出量子Borel部分的量子齐次空间是twisted Calabi-Yau代数，它们的Nakayama自同构也被计算出来.对于一般情形，运用[Let02]提到的一种滤，我们证明了Uq(g)的所有量子齐次空间都有AS-正则性质和twistedCalabi-Yau性质。
文章最后对Uq(5[(2，C))的量子齐次空间进行了分类；并研究了Podles量子球面，它们是Oq(SL(2，C))的一类量子齐次空间.标准的Podles量子球面已被证明是AS-正则的[Kra12].我们对非标准情形做了研究，证明了所有的Podles量子球而都是Auslander-正则，Cohen-Macaulay，AS-正则代数。