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四元数是物理学家哈密尔顿发明的一个非交换的数系。四元数分析理论在三维或四维信号处理中，例如彩色图像处理、风速信号预测等方面都有广泛的应用。另一方面，再生核希尔伯特空间(RKHS)在数值分析中是一个比较理想的空间框架，因为它可以通过非线性映射把输入空间的数据映射到高维特征空间，再引入核函数，把非线性变换后的高维特征空间的内积运算转换为原始输入空间中的核函数计算，从而实现了输入空间上的非线性化。这一理论已经被广泛应用于神经网络、数值计算、机器学习、固体力学等领域。因此，我们研究四元数再生核希尔伯特空间(QRKHS)，建立四元数再生核希尔伯特空间的微分理论，将微分理论拓展到更高维的空间，其应用前景更加广阔。但是由于四元数的乘积不满足交换性，许多常规的结论或者性质不再成立，从而这一理论研究又具有一定的挑战性。 本文在四元数函数的微分理论基础之上，建立四元数再生核希尔伯特空间(QRKHS)上的微分理论，并将这一理论应用到自适应滤波器中的核最小均方算法和最大熵算法。本文解决了以下三个问题： 1.以实希尔伯特空间上的Fr?echet导数为依据，运用一阶Taylor展开式，得到了四元数再生核希尔伯特空间(QRKHS)中的导数—Fr?echet-HR导数及得到QRKHS中的GHR导数—Fr?echet-GHR导数。 2.通过定义Fr?echet-GHR导数，给出了四元数再生核希尔伯特空间(QRKHS)的乘积及复合求导法则。运用Fr?echet-GHR导数的求导法则，给出四元数再生核希尔伯特空间(QRKHS)中的求导例子，修正了文献[21]的所提出的乘积求导法则的错误和例子。 3.运用Fr?echet-GHR导数的求导法则，结合再生核理论，我们研究了核最小均方算法（QKLMS1和QKLMS2），改进了四元数核最大熵算法（QKMC）。