【摘 要】
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该文主要介绍不同的群作用系统的各种复杂度以及阐述其相互之间的关系.不加特殊的说明,文中所涉及的群都是可数离散群,所有的群作用都是连续的.对于一个给定的群,它可以连续作用在一个紧致的度量空间上,这个群和这个群作用当作一个整体,称之为群作用系统.特殊的,对于一个动力系统来说,可以看作是一个整数群作用.对于群作用系统来说,描述该系统的拓扑复杂程度,定性分析的参量有:敏感性,混沌性,混合性等,对于这些参量
【基金项目】
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国家自然基金； 重庆自然基金协会；
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该文主要介绍不同的群作用系统的各种复杂度以及阐述其相互之间的关系.不加特殊的说明,文中所涉及的群都是可数离散群,所有的群作用都是连续的.对于一个给定的群,它可以连续作用在一个紧致的度量空间上,这个群和这个群作用当作一个整体,称之为群作用系统.特殊的,对于一个动力系统来说,可以看作是一个整数群作用.对于群作用系统来说,描述该系统的拓扑复杂程度,定性分析的参量有:敏感性,混沌性,混合性等,对于这些参量,再细分一下,比较常见的有Li-Yorke混沌,分布混沌,多重敏感,均值敏感,弱混合等;定量分析的参量有:拓扑维数,拓扑熵,拓扑序列熵,拓扑均值维数等,它们都是拓扑共轭不变量.正因为描述群作用系统拓扑复杂度的参量很多,而且并非所有的变量之间都有着固定的强弱关系,所以对这些描述群作用系统复杂度的参量之间的关系的研究是非常有意义的.对于顺从群作用,该文主要就拓扑熵和Banach均值敏感性之间的关系以及对于顺从群作用上的满平移的均值维数的计算进行了系统的研究,并得到了一些结果.对于自由半群作用,该文给出了其上的均值维数的定义以及证明了这个定义下的均值维数满足的一些好性质.对于一般的可数群作用,该文给出了拓扑序列熵和多重敏感性之间的关系.具体的结论如下:1.定义了顺从群作用下的Banach均值等度连续的概念,并且证明了Banach-,Weyl-,以及Besicovitch均值等度连续在群交换的情况下是等价的.更进一步,证明了一个传递的几乎Banach均值等度连续的交换群作用系统有拓扑熵0.由于Banach均值敏感性在传递作用下和几乎Banach等度连续是互为反定义的,故而这个结论等价于传递的交换群作用如果有正拓扑熵,那么它是Banach均值敏感的.2.证明了顺从群作用下的有限维紧致度量空间上满平移的均值维数依然是等于基底空间的稳定维数.这推广了Tsukamoto在整数群作用的版本.3.给出了自由半群作用下的均值维数的定义,虽然在这个定义下自由半群作用上的贝努利平移的均值维数等于无穷而不是1,但是子群公式,加法公式,有限熵蕴含均值维数0,SBP蕴含均值维数0的这些重要性质延续了下来.4.对于一般的可数群作用,证明了多重敏感性能推出存在一个序列使得相对于该序列的拓扑序列熵大于0.如果再加一个局部连通的条件,拓扑序列熵的上确界会等于无穷大.除了这些主要的结果之外,对于动力系统诱导的超空间系统上的均值维数,作者也得到了一些结果:对于有限维的紧致度量空间上的满平移系统,它所诱导的超空间系统的均值维数只能取0或者无穷大,并且超空间系统的均值维数等于无穷大当且仅当底空间的拓扑维数大于0.
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