本文考虑关于完备非正曲率非紧致流形上的两个问题。完备非正曲率非紧致流形是微分几何中一个重要的研究领域，包括其上拓扑结构、度量（几何）结构等分支的研究是十分活跃的。目前应用几何分析的研究方法有:椭圆算子的谱理论，微分方程求解预定曲率问题，Ricci flow，调和影射等等。　　考虑的第一个问题是共形几何中的预定曲率问题，其中主要考虑Q-Curvature方程（四阶半线性方程）扰动问题。设（M,g）是Poincaré-Einstein流形，通过对预定Q-Curvature方程的线性化算子在对应加权空间Fredholm性质的研究，运用Mazzeo发展的edge operator理论，我们证明了对双曲度量附近的度量，其共性类中有无穷多个常值Q-Curvature渐进双曲度量。这些度量与预定Q-Curvature方程的线性化算子在对应加权空间中的核一一对应。　　第二个问题是Hadamard流形（完备非正曲率非紧致流形）间的映射局部可逆和全局可逆问题。设F:M→N是同维黎曼流形之间的C1映射。M是完备流形，而N是Hadamard流形。我们证明，如果infx∈M|d（BζoF）(x)|＞0对所有ζ∈N(∞)和Busemann function Bζ成立，那么F是C1微分同胚。这个结论推广了如下Cartan-Hadamard定理:如果infx∈M‖DF(x)-1‖-1=infζ∈N(∞)infx∈M|d(BζoF)(x)|＞0，那么F是微分同胚。我们的证明基于用打靶法处理两点边值问题，并且得到了如下关于衡量C2函数临界点集大小的推论:a)如果infx∈Rn|Hessf(x)v|＞0对任意非零向量v成立，那么f有唯一临界点。b）如果有一族满足a）中条件的函数局部一致收敛于C2函数g，并且Hess(g)处处非零，那么g至多有一个临界点，而且C2凸函数是b）中函数的真子集。