论文部分内容阅读
分形集的Hausdorff维数与测度的估测与计算是当前分形几何研究的一个重要问题.分形几何中的自相似集是一类最重要、最典型,也是目前研究最为广泛和深入的分形集,尤其是s-集,它的Hausdorff维数等于自相似维数,但其Hausdorff测度的计算成果仍凤毛麟角.本文主要针对Sierpinski垫片和Sierpinski地毯的分形特点,并基于最优覆盖的Hausdorff测度的计算理论,研究其Hausdorff测度值.主要工作具体如下：第二部分主要介绍了Hausdorff维数和测度的基本概念及其性质,以及一些计算Hausdorff测度和维数的常用技巧,如质量分布原理等.第三部分系统阐释了自相似分形集的生成,并针对满足开集条件的自相似集,给出其Hausdorff维数计算方法,和基于最优覆盖的Hausdorff测度的计算理论.第四部分通过构造适当的覆盖集,得到了Sierpinski垫片S, Sierpinski地毯C×C, Sierpinski垫片类Sλ（1／3<λ≤1／2）与Sierpinski地毯Cλ（1／4<λ≤1／3）Hausdorff测度的上界估测公式,并利用计算机编程实现求解,改进了S和C×C的Hausdorff测度上界分别为0.817918996…和1.5018469….且利用基于最优覆盖的Hausdorff测度的计算理论,得到了Sierpinski垫片类Sλ（0<λ≤1／3）及Sierpinski地毯Cλ（0<λ≤1／4）的Hausdorff测度的准确值分别为1和(21/2)s.本文获得的主要结果与现有文献的证明过程和上界估测方法有本质的不同.此方法还可以类比推广到对泛Sierpinski垫片和Sierpinski海绵的Hausdorff测度的计算研究中去.