针对地下渗流力学模型的数值方法研究是能源数值模拟的重要组成部分,对于社会和经济的发展有着深远的影响。 大部分的地下渗流力学模型是对流占优的扩散方程组,这是一个非常显著的特点,例如:石油工程和环境工程所产生的多孔介质中多项多组分的模拟、半导体器件以及各种大气流体的模拟等等都使用对流占优的扩散方程组。对于这类方程的数值模拟,许多学者进行了大量的研究工作,发展了很多可以得到满意结果的数值方法。 本文主要考虑两类地下渗流力学模型:一是不可压缩的两相渗流驱动问题,包括扩散矩阵正定和半正定两种情形;二是具有非Lipschitz困难的污染运移问题。从质量守恒的方面着手构造新的数值格式,经过严密的理论分析得到了较好的收敛估计,并作了大量的数值实验,验证了理论结果和格式的可行性,大幅推进了前人的工作,不具有重复性。特别是针对体积有限元方法、迎风混合元格式和基于网格变动的有限元方法的构造和分析,具有重要的改进和创新,进一步完善和发展了该类模型问题的数值计算方法。 全文共分三章。 本文第一章,研究了不可压缩两相渗流驱动问题,提出了两种数值方法:体积有限元和迎风混合元方法。多维空间中多孔介质的不可压缩两相渗流驱动问题,通常由两个非线性的偏微分方程耦合而成,一个是压力方程,形式为椭圆型,易于处理;另一个是饱和度方程,形式为对流占优的扩散方程,具有很强的双曲性质。此问题是油藏数值模拟的重要基础领域之一,著名数学家、油藏数值模拟创始人J.Douglas.Jr.等人开创了这一重要领域。上世纪80年代以来,J.Douglas.Jr.和R.E.Ewing,T.F.Russell,M.F.Wheeler,袁益让等人基本完成了两相渗流驱动问题的基础性工作,提出了著名的特征有限差分方法和特征有限元、特征混合元等方法。众所周知,对于对流占优的方程,单纯使用一般的有限元和有限差分方法会产生过多的数值弥散和非物理振荡,特征方法可以有效的处理对流占优的问题,减少和避免数值弥散和非物理振荡,然而在实际的应用中,该方法需要对时间和空间作插值计算,尤其在计算边界时需要特别的处理,所以增加了计算的复杂性,并且要求模型是Ω周期的,不能保持质量守恒。为解决这些缺点,后来出现了一系列改进的有限元方法,如流线扩散法,高阶Godunov方法。加权迎风格式以及局部伴随Eulerian-Lagrangian方法(ELLAM)等。但Godunov格式对时间步长有一个CFL条件限制;而加权迎