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本文分五章：第一章为引言；第二章研究一类具有奇异积分项的Boussinesq方程的Cauchy问题的局部解的存在惟一性；第三章通过积分估计证明第二章所述问题的整体解的存在惟一性；第四章用凸性原理讨论第二章所述问题的解的爆破；第五章在小初值的条件下通过Hilbert变换得出一些振荡积分的估计，利用这些估计得到解的衰减性质，从而证明了解的整体存在性，这是一些新的结果.具体情况如下：在第二章中，我们研究如下一类具有奇异积分项的Boussinesq方程的Cauchy问题utt+αuxxxx-βH(uxxx)-γuxx=f(u)xx，(0.1)u(x，0)=()(x)，ut(x，0)=ψ(x)(0.2)的局部解的存在惟一性，其中u(x，t)为未知函数，α＞0，β≥0，γ＞0为常数，H为Hilbert算子，定义为H(u(x)=limδ→0+1/π∫|x-y|≥δu(y)/x-ydy=1/πP.V.∫∞-∞u(y)/x-ydy,f(s)为给定的非线性函数，()(x)和ψ(x)为已知的初始函数，下标t，x分别表示对t，x求偏导数.
为此，我们先研究对应线性方程的Cauchy问题utt+αuxxxx-βH(uxxx)-γuxx=g(x，t)(0.3)u(x，0)=()(x)，ut(x，0)=ψ(x)(0.4)在证明了(0.3)，(0.4)的解的存在惟一性后，利用压缩映射原理，得到非线性问题局部解的存在惟一性，其主要结果如下定理1假设s≥1/2，()∈Hs，ψ∈Hs-2，且f∈C[s]+1(R)，则问题(0.1)，(0.2)有惟一的局部解u∈C([0，T0)，Hs)∩C1([0，T0)，Hs-2)，其中[0，T0)是解的最大存在区间.进一步，若limsupt↑T0[‖u(t)‖Hs+‖ut‖Hs-2]＜∞，(0.5)则T0=∞，即解u∈C([0，T]，Hs)∩C1([0，T]，Hs-2)是整体解.
第三章通过守恒律得到一些积分估计，然后再证明问题(0.1)，(0.2)的整体解的存在惟一性，主要结果如下定理2假设S≥1/2，()∈Hs，ψ∈Hs-2，且f∈C[s]+1(R).设T＞0是问题(0.1)，(0.2)的解的最大存在时间，则T＜∞的充要条件是limsupt↑T‖u(t)‖L∞=∞.(0.6)定理3假设s≥1，()∈Hs，ψ∈Hs-2∩H-1，F(())∈L1，f(u)∈C[s]+1(R)，且F(u)≥0或f′(u)是下有界的，即存在常数A0，使得对u∈R有f′(u)≥A0.则问题(1.1),(1.2)存在唯一的整体解u∈C([0，∞)，Hs)∩C1([0，∞)，Hs-2).
第四章中用凸性引理得到了问题(0.1)，(0.2)解在有限时刻爆破的充分条件，主要结果如下定理4假设f(u)∈C(R)，F(u)=∫u0f(s)ds，()∈H1，ψ∈H-1且F(())∈L1，存在常数k＞0使得对任意的u∈R有f(u)u≤2(2K+1)F(u)+2Kγu2.(0.7)
若初值满足下列条件之一：(1)E(0)＜0，(2)E(0)=0，(|ξ|-1()，|ξ|-1ψ)＞0，(3)E(0)＞0，(|ξ|-1()，|ξ|-1ψ)＞√E(0)‖()‖(H)-1，则Cauchy问题(1.1)，(1.2)的广义解u(x，t)在有限时间内发生Blow-up.
第五章讨论了在小初值的条件下问题(1.1)，(1.2)的整体解的存在性，我们首先研究线性问题utt+αuxxx-βH(uxxx)一γuxx=g(x，t)xx(0.8)u(x，0)=()(x)，ut(x，0)=ψ(x)(0.9)得到解的一些估计式，然后利用压缩映射原理，得到(0.1)，(0.2)的整体解的存在性，其主要结果如下定理5假定()∈H21∩L1，ψ∈H-21，g∈L2([0，T]，H21∩L1)，()T＞0，则问题(0.8)，(0.9)有唯一广义解u(x，t)∈C([0，T]，H21)∩C1([0，T]，L1)，并且有：‖ut(·,t)‖∞+‖u(·,t)‖∞≤C10(1+t)-1/3(‖()‖H21+‖()‖1+‖ψ‖H-21+‖ψ‖1)+C11∫t0[(t-τ)-1/3+(t-τ)-1/2]‖g(·,τ)‖1dτ(0.10)‖u(·,t)‖H21+‖UT(·,t)‖L1≤C12(‖()‖H21+‖ψ‖L1+∫t0‖g(·,τ)‖H21dτ)(0.11)定理6假定α＞4是一个正整数，f∈C2(R)满足当u→0时，|f(u)|=O(|u|α+1)，则存在一个δ＞0，使得对任何()∈H21∩L1，ψ∈H-21∩L1，当‖()‖H21+‖()‖1+‖ψ‖H-21+‖ψ‖1＜δ(0.12)时，问题(0.1)，(0.2)存在一个解u(x，t)∈C([0，∞)，H21)∩C([0，∞)，L1)，且sup0≤t＜∞[(1+t)1/3(‖u(·,t)‖∞+‖ut(·,t)‖∞)+‖u(·,t)‖H21+‖u(·,t)‖L1]≤Cδ(0.13)这里常数C仅依赖于f和()，ψ.