数学在许多领域的应用日益广泛,对我们周围的生活影响也越来越大。传染病动力学就是数学应用的一个典型代表。利用疾病的发生和种群内部的传播规律,我们可以建立相应的数学模型,利用数学工具和方法分析疾病的发展过程,疾病传播受哪些因素的影响,为人们提供数学依据和理论基础以便预防和控制。传染病动力学作为一门与实际联系密切并且对维护人类健康有着巨大作用的科学,日益受到人们的重视,并且成为应用数学研究的热点之一。随着传染病动力学的不断发展,许多重要的生物学因素被引入到传染病模型中以反映客观事实。在本文中,我们在常微分模型的基础上引入空间变量,建立了偏微分模型,从而研究了一类具有分布时滞的SIRS传染病模型及其自由边界问题。这里我们用分布时滞来反映疾病的潜伏期对疾病传染力的影响,用自由边界来反映疾病蔓延和消退时的发展过程。首先,我们在引言中介绍了传染病对人类的影响,接着描述了传染病动力学的产生与发展,由此引入了经典的SIRS传染病模型的来源以及它的发展进程。在前人的基础上,我们重点介绍了带有双线性发生率和分布时滞的SIRS常微分模型。进一步地,考虑疾病在空间上的传播,引入了扩散项,并将模型改进为带有双线性发生率和分布时滞的偏微分模型,也就是本文所要研究的模型。第二部分,我们证明了该模型解的有界性。先给出了方程的上界,然后利用Gagliardo-Nirenberg不等式和Moser迭代推导出了该模型解的下界。第三部分,我们给出基本再生数R0,讨论了当R0>1时问题的无病平衡点不稳定,当R0<1时问题的无病平衡点局部渐近稳定。当R0>1时,问题的染病平衡点局部渐近稳定。当R0<1时,问题的染病平衡点不存在。并且通过构造Lyapunov函数给出了R0<1时,问题的无病平衡点全局渐近稳定,R0>1时染病平衡点全局渐近稳定。第四部分,我们考虑相应的自由边界问题,给出了该问题解的全局存在性,唯一性,讨论了自由边界的性质。第五部分,我们研究了疾病的蔓延与消退。首先给出了疾病蔓延或消退的定义,接着寻找疾病蔓延或消退的条件,最后给出结论。