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孤立子理论是非线性科学的一个重要方向,它既反映一类非常稳定的自然现象,体现了一大类非线性相互作用的若干特征,为许多应用问题(如光孤子通讯)提供了启示。另一方面,这一理论又为非线性偏微分方程,尤其是为高维孤子方程提供了求显式解的方法,是应用数学和数学物理的重要组成部分,在流体力学、量子力学、经典场论、等离子体物理等领域有着广泛的应用。
对于多维孤子方程,由于这些方程的多维性和高度非线性,很难用直接的方法求解。因此,通常考虑将高维问题降为较低维的可积问题。然后通过成熟的处理低维问题的方法求解低维方程。最后利用高维和低维方程之间的联系得到多维方程的孤子解。处理低维问题常见的方法有:非线性化方法,达布变换法,反散射法,Bcklund变换,Hirota双线性法,代数几何法等。
本文通过两个新(2+1)维孤子方程与(1+1)维孤子方程的关系,借助达布变换的方法求解出(1+1)维孤子方程的精确解,进而得到两个新(2+1)维孤子方程的解。这两个新(2+1)维孤子方程是:
MKP型方程:
本文分为四部分。第一部分简单介绍孤子理论的发展和达布变换的主要思想。
第二部分是从MKP方程的谱问题出发,利用映射方法推导出Lenard递推算子K、J对,由此产生MKdV孤子方程。
第三部分考虑与(2+1)维MKP型方程相联系的(1+1)维孤子方程的达布变换,求出(1+1)维孤子方程的达布阵和(2+1)维孤子方程的精确解。
第四部分以ω=常数作为种子解,讨论(2+1)维孤子方程所得到的精确解。并对解的性质进行分析,绘出相应的孤子图象。