图的染色问题是一个非常活跃的研究课题,近年来,因为染色的规则和对象不同,图的染色理论也日益丰富.在本论文中我们主要研究图的无圈全染色和无圈边染色问题.如果φ是图G的一个正常的全染色,并且它能使图G的每一个圈中都至少包含4种颜色,那么就把φ定义为图G的无圈全染色.使图G的一个正常k-无圈全染色存在所需的最小的正整数k,就称作图G的无圈全色数,记为χa"(G).Sun和Wu首先提出了图的无圈全染色的概念,并给出猜想:对任意的图G,满足Δ(G)+1≤χa"(G)≤Δ(G)+2.如果φ是图G的一个正常的边染色,并且它能使图G中不包含双色圈,那么就把φ定义为图G的无圈边染色.使图G的一个正常k-无圈边染色存在所需的最小的正整数k,称作图G的无圈边色数,用χa’(G)来表示.在2001年,Alon等人给出了无圈边染色的猜想,即:对任意图G,A(G)≤χa’(G)≤Δ(G)+2.有关无圈染色的猜想对我们的研究提供了非常重要的参考意义.本论文主要讨论了伪Halin-图和不含K4-minor的图的无圈全染色,以及不含3-圈的IC-平面图的无圈边染色问题.第一章,介绍了图论的研究背景,相关概念,以及目前的研究现状.第二章,利用极小反例的方法对伪Halin-图的无圈全染色问题进行了研究,证明:如果图G为伪Halin-图,那么(?)其中w是一个邻点全部位于边界的内点,并且有且仅有一个非正则邻点.第三章,对于不含K4-minor的图的无圈全染色问题,采用极小反例的方法证明:如果图G为不含K4-minor的图,那么(?)其中结构(*)为:两个3-圈xx1zx和yy1zy,并且d(z)=4,以及d(x1)=d(y1)=2.第四章,研究了不包含3-圈的IC平面图的无圈边染色问题,利用差值转移的方法和极小反例的方法,证明:如果图G为不包含3-圈的IC-平面图,那么χa’(G)≤Δ+7.第五章,对本文的结果进行了总结,并对后续问题作了一些展望.