图谱理论是代数图论和组合矩阵论中一个重要的研究领域,在近几十年中发展迅速,并得到广大研究者的关注和青睐。图所对应的各类矩阵是图谱理论的重要研究方向和研究内容。除了对图的谱进行研究以外,图的秩和零度也很受关注。2007年Cheng等人首先提出对给定秩的图进行刻画,随后又刻画了秩为4,5的无向图,进一步地,研究者们开始研究定向图和混合图。定向图和混合图的邻接矩阵多种多样,本文讨论的是其中较为常见的两种矩阵,定向图的邻接矩阵A和混合图的Hermitian邻接矩阵Ⅱ。本文主要刻画了秩为2的定向图和秩为4的带割点的混合图,结论如下所示:定理2.1:一个连通定向图D的秩为2当且仅当D或DT可以由图2-1中图类之一通过点复制得到。定理3.15:令T为一个约化混合树,若r(T)=4,则T是底图为P4,p,q或P5,p,q中的混合图,其中1≤p≤3,1≤q≤3。定理3.16:令G为一个连通混合图,G不是树,u是G的悬挂点,v是u的邻点。若r(G)=4,则G-u-v一定与Ka,b或Ca,b,c变换等价。定理3.17:令G为一个带有割点v的连通约化混合图,G不是树且没有悬挂点,r(G)=4当且仅当G-v有且只有两个分支G1,G2,且要么G1+v,G2+v都与图3-2中的图变换等价,要么G与图Γ1或Γ2变换等价(见图3-3)。本文总共有图5幅,参考文献53篇。