丢番图方程是指未知数个数多于方程个数的多项式方程(或方程组),是数论中最古老的一个分支.与丢番图方程有关的问题称为丢番图问题.“万物皆数,数是万物之本”,几何上的对称和优美赋予了形数极大的魅力.从数到形,在几何中,把由有限条线段连接成的封闭图形叫多边形.本文主要讨论了关于形数与多边形的丢番图问题.首先,我们研究了与三角形数相关的丢番图方程,讨论了两个三角形数的线性组合表为平方数.利用Pell方程的基本性质和同余理论,证明了当2n不是平方数,以及当n=d(t)/2时,其中d(t)为一些特殊多项式,则丢番图方程1+(y2)=z2,n∈Z+有无穷多的正整数解.当m,n取一些特殊值时,给出了丢番图方程m(x2)+n(y2)=z2,m,n∈Z+的无穷多的正整数解.当a,b,c取一些特殊值时,得到了丢番图方程z2=a(x2)2+b(x2)(y2)+c(y2)2,a,b,c∈Z有无穷多的正整数解.其次,我们考虑了 Heron三角形的边长为形数和直角三角形的边长为多项式的值.利用Pell方程的基本性质和待定系数法,证明了存在无穷多的等腰Heron三角形的边长为多角形数(除了平方数)和二项式系数.得到了无穷多的直角三角形的边长为一些特殊三次多项式的值.接着,我们研究了两个多边形有相同的面积和周长.利用Fermat方法,给出了无穷多的Heron三角形与菱形有相同的面积和周长.通过计算超椭圆曲线上的有理点,证明了不存在等腰三角形与菱形有相同的面积和周长.利用椭圆曲线的理论,得到了无穷多的(直角、等腰、Heron)三角形与(直角、等腰)梯形有相同的面积和周长.最后,我们提出了一些未解决的丢番图问题.