有限元方法是求解各种复杂数学物理问题的重要方法。在数字化信息手段高度发展的今天,有限元方法已经成为科学研究与工程计算不可缺少的重要工具。它是数值求解微分方程问题成熟、有效的方法。本论文利用嵌套加密有限元自适应技术,研究了梯形嵌套加密有限元方法及基本性质,并给出二阶自相伴型椭圆边值问题梯形嵌套加密有限元方法及收敛性分析结果。同时还研究了Q1截断有限元方法,给出其收敛性分析的结论。最后给出数值算例以验证理论分析的结果可行且有效。本文的结构框架如下：第一章引言介绍有限元方法和自适应有限元的发展历史及研究现状,并给出本文要用到的基本知识。第二章探讨研究了梯形嵌套加密有限元的一些基本性质,给出二阶自相伴型椭圆边值问题梯形嵌套加密有限元方法及收敛性分析结果。第三章介绍Poisson方程边值问题梯形嵌套加密Q1截断有限元方法,并给出收敛性结果。第四章针对本文阐述的理论分析结果,给出一个数值例子。