【摘 要】
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有限元方法是数值计算的有力工具,也是处理复杂工程问题的重要手段.样条有限元方法和比例边界有限元方法都是基于有限元方法发展起来的新的数值方法.样条有限元方法发挥了样条函数满足一定分片连续性,逼近精度高的优点.比例边界有限元方法是由Wolf和Song提出来的一种新的半离散半解析方法.该方法结合了有限元方法和边界元方法,不仅继承了两者的优点,而且拥有自己的特点,更加灵活和有效.目前,样条有限元方法和比例
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有限元方法是数值计算的有力工具,也是处理复杂工程问题的重要手段.样条有限元方法和比例边界有限元方法都是基于有限元方法发展起来的新的数值方法.样条有限元方法发挥了样条函数满足一定分片连续性,逼近精度高的优点.比例边界有限元方法是由Wolf和Song提出来的一种新的半离散半解析方法.该方法结合了有限元方法和边界元方法,不仅继承了两者的优点,而且拥有自己的特点,更加灵活和有效.目前,样条有限元方法和比例边界有限元方法在数值计算和工程领域发展迅速,应用广泛.本文在数学理论上对两种方法以及两者之间的结合进行了研究,具体研究工作主要包括以下三部分内容.1.二阶椭圆问题的比例边界有限元的高阶完备性分析迄今为止,比例边界有限元方法在工程应用方面取得了许多丰富的研究成果,但在数学理论方面的研究工作较少.对有限元理论,单元的完备性分析是比例边界有限元理论基础中非常重要的一部分.本文在第3章严格地给出了比例边界有限元方法对于二阶问题的高阶完备性的理论证明.我们从比例边界有限元的齐次解（无体力项）和非齐次解（有体力项）的表达形式入手,引入了比例边界坐标下的环向插值算子,给出了多项式在比例边界坐标下的表达式.通过分析得到,比例边界坐标下的插值算子能否精确重构多项式的关键在于多项式表达形式中的特定整数幂次r（多项式的次数）能否存在.一方面,齐次解中的r是由特征值分解法的求解过程中的[Z]矩阵的特征值决定;另一方面,非齐次解的特解中的r由体力项的逼近精度决定.本章严格证明了,对于封闭的S单元,特定的整数幂次r总是可以在比例边界有限元的计算中得到并且和S单元的形状无关,即比例边界有限元方法具有高阶完备性.另外,在完备性分析中,我们也发现了一些比例边界有限元在求解过程中的相关理论问题并给出了必要的证明.2.三维二阶椭圆问题的样条比例边界有限元比例边界有限元方法对网格剖分适应性好,尤其是它在多边形或者多面体单元下的方程推导过程和三角形、四边形或者六面体单元没有差别.实际上,对于三维问题,多面体单元的构造是相当困难的.考虑到比例边界有限元方法中多面体单元构造简单,通用性好,本文第4章将样条单元和其相结合,分别构造了二次和三次样条比例边界有限单元SBFEM-L8和SBFEM-L12.该单元是将四边形样条单元L8或L12作为面单元,用于三维比例边界有限元方法中.由第3章的理论分析和第4章的数值实验可得,SBFEM-L8具有二阶完备性,SBFEM-L12具有三阶完备性.除此之外,数值实验也表明,SBFEM-L8和SBFEM-L12既保留了比例边界有限元对网格适应性好的特点,又发挥了样条单元节点少、精度高且对网格畸变不敏感的优势.3.四阶椭圆问题的超收敛非协调四边形样条单元对于样条有限元方法,由于样条函数在单元内连续性灵活,对网格适应性强,本文第5章针对四阶椭圆问题,构造了一个12自由度的非协调的四边形样条单元NCQS12.该单元基于Ⅱ型三角剖分上的样条空间S31（QT）,用B网方法选择了一个包含完整三次多项式的S31（QT）的子空间作为样条有限元空间.自由度选为顶点的函数值、每条边上函数的积分值以及法向导数的积分值.理论分析得到,样条单元NCQS12的插值误差为O（h2）,相容误差为O（h1）.特别地,若网格为平行四边形网格,相容误差可以达到O（h2）,即该单元具有超收敛性.数值实验验证了我们的理论结果.此外,对于两种退化网格:二分网格和渐近规则的平行四边形网格,数值实验表明,单元NCQS12仍具有超收敛性.
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