霍恩问题[1.2](Horn’s problem),其主要内容是:已知两个自伴矩阵的谱集,确定这两个自伴矩阵和的谱集.这个问题已经被Knutson和陶哲轩[3]等人通过建立不等式的方式解决,Zuber[4]则是从概率密度分布的角度来对该问题进行研究.本文主要以霍恩问题为背景,沿着Zuber的研究方向从概率密度分布的角度来研究自伴随机矩阵和的特征值的联合密度分布函数.首先给出若干个自伴随机矩阵和的对角元的概率密度分布函数,然后根据可导性原理(derivative principle)[5]得到自伴随机矩阵和的谱密度.最后将该结论的一种特殊情况应用于量子信息领域,即量子态混合后态的性质研究.文章主体分为4个部分:第一章为引言,先给出本文用到的一些符号的说明;然后交代了当前背景下的相关内容的研究方向以及进展;最后是相关命题以及定理结论等的介绍.第二章将Zuber的结论推广至三个自伴随机矩阵和的情形.首先将两个随机自伴矩阵和的对角元的概率密度函数的形式进行推广到三个自伴随机矩阵和的情形;然后利用可导性原理,将Zuber给出的二个自伴随机矩阵和的谱密度的分布函数推广到三个自伴随机矩阵和的情形.第三章将对角元以及特征值的联合概率分布函数推广至对于任意有限个的自伴随机矩阵和的情形.第四章给出了一个该结论在量子信息领域中的应用,主要取迹为1的正定自伴随机矩阵上并且在矩阵维数为2,矩阵个数为3的情形下,给出三个二维量子态等概率混合后的对角元、特征值的联合概率密度函数的一般表达式,并且对其平均熵进行了研究.