在这篇论文中,我们主要研究了传染病模型：这里Sk,Ek,Ik分别代表第k个种群中可感染人群总数,感染但没发病的人数,发病人数.此模型中所有的参数都是非负的.各个参数代表的实际意义如下：βkj:Sk与Ij之间的传染系数,dks,dkE,dkl:第k个种群中S,E,I的死亡率,Λk：第k个种群人群总数的增长率,εk：第k个种群中被感染的人,经过一段疾病潜伏期后发病的概率.γk：第k个种群中发病人群的恢复速率.特别地,βkj≥0,βkj=0当且仅当疾病不能在Sk与Ij之间传播时[1].对于模型中的传播矩阵B所对应的网络图,本文主要考虑了以下五种网络图,它们分别是：5个种群的常规网络,10个种群的常规网络[2],10个种群平均度为4的随机网络[2],10个种群依概率分布的随机网络,5个种群依概率分布的随机网络.对于这五种网络图中的后三种图,它们具有的随机性更大,因而具有的实际意义也更大.(1)通过计算机模拟,我们得到了这五种网络系统的总波动随时间的变化关系.从中我们不难看出,对于5个种群的常规网络、10个种群的常规网络[2]、10个种群平均度为4的随机网络[2],系统的总波动情况是比较相似的.在达到平衡状态前,系统的波动都是较小的,而且达到平衡状态所需要的时间也是很少的.在达到平衡状态后,这三种网络图的系统总波动值都稳定在1处,这就是说,无论初值和随机矩阵(βkj)如何选取,这几个系统最终的平衡点都是一个定点.也就是说,初值及随机矩阵(βkj)的选取,对系统最后的平衡点是没有影响的.而对于10个种群依概率分布的随机网络、5个种群依概率分布的随机网络,在达到平衡状态前,系统的总波动都是比较剧烈的,而且达到平衡状态所需的时间也都较长,在达到平衡状态后,系统的总波动不能稳定在1处,这就是说,这两个系统最终的平衡点不是一个定点,初值及随机矩阵(βkj)的选取,对系统最终的平衡点是有影响的.但是,在达到平衡状态后,系统的总波动都是稳定在一点几,这说明初值和随机矩阵的选取对系统最终平衡点的影响不是很大.究其原因,可能是10个种群常规网络系统和5个种群常规网络系统的疾病传播图都是强相联的,10个种群平均度为4的随机网络[2]系统在100次模拟中,疾病传播图是强相联的情况概率很大,而对于10个种群依概率分布的随机网络系统和5个种群依概率分布的随机网络系统,在100次模拟中,它们的疾病传播图是强相联的概率不是很大,而当疾病传播图是非强相联时,整个系统就会变得比较复杂,结果也比较难预测.这就解释了问什么这两种系统的总波动情况比较复杂,而且最终平衡点不定的问题.对于这几个系统,过渡时期的总波动情况不同,正说明这几个系统的不同,因而我们可以把波动情况确定为区分系统不同的一个指标.(2)由于前人对于传染病模型的结果都是建立在常规网络的基础上.故他们的结果具有很大的限制性.如：当B是常规网络时,传染病系统最终的状态只有两种一所有的种群都趋于传染性的平衡点；所有的种群都趋于疾病消失的平衡点.但当B是随机网络时,传染病系统最终的状态就变得比较复杂.会出现有的种群趋于传染性的平衡点,有的种群趋于疾病消失的平衡点的状态.通过200次模拟,我们发现,对于疾病传播图是10个种群平均度为4的随机网络[2]的系统,最终状态为传染性平衡点和疾病消失平衡点同时存在的概率是21/200.对于疾病传播图是10个种群依概率分布的随机网络的系统,最终状态为传染性平衡点和疾病消失平衡点同时存在的概率是63/200.对于疾病传播图是5个种群依概率分布的随机网络的系统,最终状态为传染性平衡点和疾病消失平衡点同时存在的概率是107/200.(3)由于系统在达到平衡状态后,每个种群的S值都是一个常数,故所有种群的相关系数都是1,也就是所有种群都可以看成是一个组的.但在系统达到平衡状态前,每两个种群的相关系数(考虑每两个S之间的相关系数)都会经历一个变化的过程.我们发现,无论哪种网络图,系统组数的变化都是由多到少,最后趋于1个组.但是对于常规网络,由于系统达到平衡状态所需的时间较短,所以整个系统达到1个组所需的时间也较短.(4)当我们改变参数εk时,无论是整个系统达到平衡状态所需的时间,还是系统达到平衡状态前组数的分布,及系统最后的状态分布(都趋于传染性平衡点,都趋于疾病消失的平衡点,既有趋于传染性平衡点又有趋于疾病消失的平衡点)基本没有改变,这主要是因为εk值的改变,对R0值的大小基本没有影响(由于在R0公式中,有εk的项是εk/(εk+dkI)).当我们改变参数γk时,我们发现γk的改变对整个系统达到平衡状态所需的平均时间影响较大.总体来说,随着γk的增大,系统达到平衡状态所需的平均时间呈现先增大后减小,最后趋于不变的趋势.从实际意义上来说,这个现象是很显然的,当γk很小时,这说明一个疾病比较难治愈,故系统中的种群会很快趋于传染性的平衡点,随着γk变大,一个疾病要治愈所需的年数变少,此时趋于传染性的平衡点的种群的Ik值也比γk很小时此值要小,因为此时疾病不再像γk很小时那么难治愈.故得病的人数Ik会变小.当γk继续增大时,疾病变得比较好治愈,所以整个系统达到平衡状态所需的平均时间有所减少.当γk继续增大,疾病变得非常好治愈.故所有的种群都会很快的趋于疾病消失的平衡点.总的来说,当γk由小变大时,疾病会经历从难治愈→一般情况→好治愈,也就是系统达到平衡状态所需的平均时间小→大→小.对于常规网络,系统达到平衡状态所需的平均时间与随机网络不同的地方在于,它们所需的平均时间随γk的改变基本呈现线性的先增大后减小最后不变的关系,而对于随机网络,平均时间随γk的改变会呈现曲线式的先增大后减小后不变的状态,这主要是因为,对于随机网络,里边含有很多不确定的因素,所以两个变量之间的关系很难呈现线性关系.当γk改变时,五个系统过度时期的波动的中位数和稳定时期波动的中位数都有明显的变化.当γk改变时,每个系统的过渡时期的波动的中位数和稳定时期波动的中位数的变化情况基本相同(每个颜色的虚线和实线重合).但对于两个常规网络,无论是过渡期还是平衡期,震动的中位数都很接近1.而对于另外三个随机网络,无论是过渡期还是平衡期,波动的中位数都是先减小后不变.这主要是因为对于后三种网络,矩阵(βkj)的选取具有很大的随机性,当γk很小时,这种随机性占主导地位,所以波动较大.但当γk很大时,随机性的影响不如γk的影响大,所以此时波动很小,基本维持在1附近.参数βkj变大时,10个种群平均度为4的随机网络[2]系统达到平衡状态所需的平均时间逐渐变小.而其它四种系统,平均时间都随βkj的增大呈现先增大后减小的趋势.这主要是因为当βkj增大时,传染病在各个种群间的传播开始变得有些混乱,所以系统达到平衡状态所需的平均时间较长,但当βkj很大时,疾病在各个种群间的传播变得很快,所以系统达到平衡状态所需的平均时间较短.当βkj改变时,五个系统过度时期的波动的中位数和稳定时期波动的中位数都有明显的变化.当βkj从小变大时,每个系统的过渡时期的波动的中位数和稳定时期波动的中位数的变化情况基本相同(每个颜色的虚线和实线重合).但对于两个常规网络,无论是过渡期还是平衡期,波动的中位数都很接近1.而对于另外三个随机网络,无论是过渡期还是平衡期,波动的中位数基本趋势都是在增大,也就是说,βkj增大,会使整个系统变得复杂.总体来说,(1)无论是对于5个种群还是10个种群,当系统最终的状态为疾病消失状态时,所需的过渡时间都很短,也都基本相同；(2)γk的意义是：γk小说明疾病很难治愈,故系统达到平衡状态所需时间较长,γk大说明疾病很好治愈,故系统达到平衡状态所需时间短,当γk很大时,所有种群都会趋于疾病消失的平衡状态,也就是系统很容易达到平衡.(3)βkj的意义：βkj小说明疾病传播的慢,故系统比较容易达到平衡,而且此时发病的人数不会很大.随着βkj变大,系统变得会比较复杂,故不易达到平衡,当βkj很大时,βkj加快系统达到平衡状态的速度的程度大于βkj使系统变混乱的程度,故此时系统达到平衡状态所需的平均时间变小.