在图的经典的顶点着色(或边着色)中，我们只要求任意两个相邻顶点(或相邻边)所着颜色不相同.如果还要求距离为二的顶点(或距离为二的边)所着颜色也不相同，我们就得到图的距离二着色(或强边着色).图的距离二着色实际上就是原图的平方图的顶点着色.平方图的顶点着色很早就有研究，而直到上个世纪九十年代初才出现一些图的强边着色的研究结果.经典的顶点着色和边着色已经有非常丰富的理论结果，其应用的领域也很广泛.最近二十年来，关于图的距离二着色问题和强边着色问题的研究结果也不断涌现.作为经典着色问题的推广，距离二着色问题和强边着色问题研究进一步拓广了着色理论的实际应用范围.比如，Gebremedhin、Manne和Potthen在文[29]中综述了距离二着色问题和一种强边着色问题在导数计算中的应用。 设j和k是两个非负整数，通常假定j≥k，图的L(j，k)-标号是距离二着色的一个直接推广，它最早是在1992年由Griggs和Yeh[38]为了解决一种特殊的频道分配问题而提出的.它作为经典着色的一个重要推广，得到了广泛深入的研究.在图的L(j，k)-标号中，我们用非负整数对图的顶点进行标号使得相邻顶点的标号之间的差至少为j而距离为二的顶点的标号之间的差至少为k.一个图的所有L(j，k)-标号中最大标号的最小值称为该图的L(j，k)-标号数，图的圆-L(j，k)-标号是L(j，k)-标号的一个变形，它用一个周长为整数的圆上的整点对图的顶点进行标号，要求相邻顶点的标号在圆上的距离至少为j而距离为二的顶点的标号在圆上的距离至少为k.使得图有圆-L(j，k)-标号的最小圆的周长称为图的圆-L(j，k)-标号数。我们可以类似地定义图的L(j，k)-边标号数和圆-L(j，k)-边标号数，本论文重点研究图的强边着色(即图的L(1，1)-边标号)、图的L(2，1)-边标号和图的圆-L(2，1)-边标号。 论文首先研究图的强边着色，证明除了一个仅六个顶点的特殊图外，对任意图G，如果对图G的任一条边xy都有d(x)+d(y)≤5，那么它的强边色数不超过6.因为完全二部图K2，3满足上述条件且其强边色数为6，所以上界6是最好可能的。这个结果回答了Faudree等人[22]提出的第四个问题，事实上我们不要求G是二部图，所以这个结论比问题要求的更强.该结果推进了强边色数上界的研究，有重要的理论意义.我们还设计了一个算法，它可以在线性时间内对满足上述定理条件的图给出它的一个6-强边着色，该算法具有潜在的应用价值。 Georges和Mauro在文[33]中完全确定了无穷△-正则树的L(2，1)-边标号数，接着对任意正整数△，我们确定了无穷△-正则树的圆-L(2，1)-边标号数.设n≥2是一正整数，Qn，表示n-维立方体.Georges和Mauro在文[33]中研究了当n较小时Qn的L(2，1)-边标号数，我们充分利用Qn的结构特征和圆标号的循环性质确定了Q2、Q3、Q4和Q5的圆-L(2，1)-边标号数以及Q5的L(2，1)-边标号数.我们在利用圆-L(2，1)-边标号数确定L(2，1)-边标号数这方面作了有益的尝试，有望使用这一手段确定更多的图的L(2，1)-标号数。 网格图的研究是一项很有意义的工作，本论文最后集中研究三种无穷网格图的L(2，1)-边标号、圆-L(2，1)-边标号和强边着色.分别用г6、г4和г3表示无穷六边形、四边形和三角形网格图，我们证明了г6的强边色数为6，L(2，1)-边标号数为7，圆-L(2，1)-边标号数为8.用Pm□Pn表示两条路Pm和Pn的笛卡尔乘积图.我们又得到了一些情况下Pm口Pn的L(2，1)-边标号数和圆-L(2，1)-边标号数，同时还证明了г4的L(2，1)-边标号等于9或者等于10，而它的圆-L(2，1)-边标号数等于11或者等于12.最后我们确定了г3和两条无穷路的强乘积图的强边色数，证明了г3的L(2，1)-边标号数等于15或者等于16，而它的圆-L(2，1)-边标号数介于16和18之间，同时也得到了两条无穷路的强乘积图L(2，1)-边标号数和圆-L(2，1)-边标号数的上下界。