基于格的密码体制作为后量子时代公钥密码体制的主要选择之一,受到了越来越多的关注。格中困难问题求解算法的有效性,在公钥密码体制的安全性分析中起着非常重要的作用。求解格中困难问题,需要设计相应的算法,而对格结构的深刻认识是设计出优异算法的前提。因此,研究格的结构、性质和格中求解困难问题的算法,具有十分重要的意义。本文的第一项工作是研究了计算格中最短向量的约化算法。对比了不同算法对同一个矩阵的不同度量参数,包括处理后向量与超平面的夹角、基向量的长度以及正交亏等,设计了适合用于任意维数的两两Gauss约化算法,此算法计算复杂度是多项式时间的,并且可以得到相对较好的约化基;证明了如果二维格有正交基,则Gauss算法输出的基本身就是格的正交基,如果格没有正交基,Gauss算法输出的基向量之间的夹角的正弦值最大;本文随后对两两Gauss算法做了并行设计,给出了能做并行计算的两两Gauss算法;针对两两Gauss算法不能约化的格基,研究了基于QR分解的格基约化算法,并且增加了约化条件,使得不能被两两Gauss约化的格基得到进一步约化;在此基础上,针对LLL约化、两两Gauss约化和基于QR分解的格基约化等算法各自的特点,提出了一种混合H-格基约化算法,通过其约化得到的基具有三种算法的优越性。本文的第二项工作是研究了格的正交性和近似正交性。指出了有理格的正交格基的构造可以归约到某些整数格的正交基的构造,给出了整数格正交基存在的充分条件;对于二维整数格,给出了正交基存在性的判定标准;揭示了近似正交格基的一些性质以及Minkowski约化基与近似正交格基的关系,证明了二维格一定有π/3正交基,Minkowski约化基中任意两个向量的夹角均大于π/3,若三维格的正交亏小于2/31/2,则此格的Minkowski约化基是π/3正交的,若格基中的向量以欧氏范数排列且最小长度与最大长度之比大于2 cosθ,则该基构成格的θ-正交基,其中π/3,进而这个基是Minkowski约化的;此外,还得到了弱θ-正交、θ-正交、近似正交、正交亏和Minkowski约化基之间的其它一些联系;在此基础上,本文将格的近似正交性应用于JPEG CHEst问题,考虑到所有色彩转换矩阵的正交亏都小于2/31/2,而它们张成的格的Minkowski基是π/3-正交的,因此利用贪婪算法寻找Minkowski基,并在枚举幺模矩阵时,增加了控制条件,改进了算法,此时改进的算法是确定性算法。由于不是每个格都有正交基,本文退而求其次,研究它的正交子格,可以证明有理格都有正交子格。本文给出了格的最小正交子格指标的定义,将之视为一个参数,来度量格的一些特性;对于任意二维格,得到了存在正交子格的充分必要条件;在此基础上,研究并求解了在离散几何、群论、李代数等领域扮演着重要角色的根格An、Dn、E6、E7、E8、Barnes-Wall格Λ16和Leech格Λ24的最小正交子格指标,特别是格A1、A2、D3、D4、D5、E6、E7、E8、Λ24都是在各自维数中关于格球填充问题的最优解。这是本文的第三项工作。本文的第四项工作是研究了低维情况下循环生成格的SVP解的概率分布。循环生成格作为一类特殊的格,是由循环矩阵张成的。针对循环格基的特殊性,当维数较低时,这组格基下的最短向量也表现出特殊的性质:也即在这组循环格基下,最短向量会有很小的上界,从而使得求解SVP问题将相对容易,尤其在低维情况下,只需常数步就可以求解SVP,而对于一般的低维格（n￡4）,已知的最快算法也需要O（‖B‖2）步（‖B‖2是输入格基范数的平方）。而对于随机取一个循环生成格时,SVP的解取到所有的可能性时有各自对应的概率,本文刻画并计算了低维情况下循环生成格的SVP解的概率分布,为在循环生成格中寻找更有效的算法求解SVP提供了新的方法。