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该篇论文主要致力于研究几类算子在局部紧的Vilenkin群上的Herz型空间上的有界性以及局部紧的Vilenkin群上的Herz型Besov空间的分解和基本性质.我们的研究工作分为两个方面;一方面,我们对Herz型Besov空间进行了原子分解.用一种统一的框架描述函数的光滑性态是函数空间研究的趋势.1976年,J.Peetre首先用Littlewood-Paley理论统一处理了Besov空间,而后用不同特征的原子和分子构造函数空间成为了继Littlewood-Paley理论之后新的发展方向.IR上的一般函数空间都有其原子分解特征,一些作者将这些分解特征延至局部紧的Vilenkin群G上.C.W.Onneweer和苏唯宜就对G上的Besov空间给出了原子刻画.受他们工作的启发,作者在该篇论文的第一章首先引入了G上的Herz型Besov空间并对其进行原子分解.在这类空间中,将原有的Besov空间中函数范数定义中的Lp空间范数用Herz空间K<,q>范数所替代.我们定义新的Herz型Besov空间K<,q>B<,β>的范数,就会发现将空间中元素分解得到的级数的收敛会与α,p,q,β和s等多个指标发生关系.在分解时,我们假设原子al,n支在某个z<,l,n>+G<,n-1>上,并且其尺寸大小满足|a<,l,n>|≤(m<,n-1>)<-(s-a)+1/q>,当然也满足消失矩条件∫<,G> al,n(x)dx=0,这时若α=0,q=p,就有K<,q>B<,β>(G)=B<,β>(G),这就说明C.W.Onneweer和苏唯宜做的G上的Besov空间的原子刻画是该文的一种特殊情况.与此同时,我们也对Herz型Besov空间的嵌入性质和提升性质做了初步的研究.另一方面,算子的有界性是此篇论文的另一研究重点.作者在三、四、五、六章中讨论了某些次线性算子和奇异积分算子及其交换子在Herz型空间上的有界性.当次线性算子满足一定的尺寸条件时,可以证明它是Herz型Hardy空间到Herz空间的有界算子,或是Herz型Hardy空间上的有界算子.该文引入Herz型Besov空间的同时还引入了局部紧的Vilenkin群G上的Herz型Triebel-Lizorkin空间.在研究交换子的有界性时,作者给出了奇异积分算子的交换子在Hardy空间上的有界性以及从L
空间到Triebel-Lizorkin空间F<,p><β,∞>(G)的有界性.进一步地,将算子的定义域限制在Herz空间上时,可以更准确地刻画其值域是Herz型Triebel-Lizorkin空间,这也说明了引入此类空间的意义.