【摘 要】
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本文采用局部高斯积分稳定化技术,研究了对流占优扩散问题和Stokes特征值问题稳定化有限元方法,主要工作如下：第一部分,基于两局部高斯积分的稳定化有限元方法与两重网格算法相结合,针对非线性对流占优扩散方程,构造了两重网格稳定化有限元方法.稳定化项是利用局部单元上两局部高斯积分差来代替,这方法与通常变分多尺度方法区别在于：在局部单元上进行稳定化操作,避免引进新的变量,没有增加额外存储空间,保持了通常
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本文采用局部高斯积分稳定化技术,研究了对流占优扩散问题和Stokes特征值问题稳定化有限元方法,主要工作如下：第一部分,基于两局部高斯积分的稳定化有限元方法与两重网格算法相结合,针对非线性对流占优扩散方程,构造了两重网格稳定化有限元方法.稳定化项是利用局部单元上两局部高斯积分差来代替,这方法与通常变分多尺度方法区别在于：在局部单元上进行稳定化操作,避免引进新的变量,没有增加额外存储空间,保持了通常变分多尺度方法（CVMS）的稳定性和有效性.同时,结合两重网格算法,该方法求得的解和传统的稳定化有限元求得的解保持相同的收敛精度,且我们的方法能够节省计算时间.数值算例验证了理论结果.第二部分,采用局部高斯积分技术的稳定化有限元方法求解对流占优扩散方程最优控制问题,其最优控制问题可通过标准离散方法或变分离散方法求得.在文中分别采用上述两种方法对控制变量进行求解,比较了它们的优缺点.数值结果表明：求解对流占优的对流扩散方程最优控制问题时,虽然标准离散方法和变分离散方法求解控制变量的稳定化有限元法均能得到稳定的数值解,但是后者比前者具有更高的收敛阶.第三部分,提出了P2-P2稳定化两重网格有限元方法.在两重网格算法中采用的二次等阶有限元配对不满足离散的inf-sup条件,因此用基于局部高斯积分公式的梯度压力投影技巧来稳定.进一步,在两重网格思想的框架下,提出了两空间稳定化算法.这两种方法都是高效的算法,能节省大量的CPU时间.这两种方法求得的解和对应的传统稳定化有限元求得的解具有相同的收敛阶.数值算例验证了理论结果.最后,我们对本文进行了总结,并对未来的研究工作做了展望.
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