声子晶体是一种具有空间几何周期性的人造功能复合材料,其最显著的特性之一是存在声子带隙(或弹性波带隙),即处于带隙频率范围内的弹性波不能从中传播。这一特性使声子晶体在隔振降噪和设计新型声学器件等方面具有广阔的应用前景,近二十年来引起了国内外学者的广泛关注。声子晶体的研究主要集中于对弹性波的传播行为进行定量或解析分析,而建立数值模型进行理论计算分析则是常用的研究手段之一。因此,发展有效便捷的数值算法成为声子晶体的主要研究内容之一。此外,声子晶体作为复合材料存在各种界面,不同的界面条件对声子晶体的整体性质影响很大。因而关于界面对波动特性的影响也是声子晶体的重要课题。本文将发展基于Dirichlet-Neumann映射的数值算法(简称“DtN映射法”)计算二维声子晶体的能带结构,并分析不同的界面情况对能带结构的影响。主要研究内容和结果如下：(1)建立了基于柱波函数展开和Dirichlet-Neumann映射的DtN映射法计算平面混合模态的弹性波在固/固体系、孔/固体系和流/固体系的二维声子晶体中的能带结构,并分析了该算法的准确性、有效性、收敛性、适用性和计算速度等特点。结果表明：DtN映射法可有效计算含圆柱形散射体的二维声子晶体能带结构,且收敛快,计算结果准确；它所给出的用于求解本征频率与Bloch波矢之间频散关系的特征值方程是线性的,且方程中矩阵阶数很小,因此该方法还具有计算量小以及节省内存和计算时间等优点；对于具有较大声学失配的体系,DtN映射法也能给出较为准确的结果,且不需增加额外的计算量。例如对于平面波展开法、小波方法等难以计算的流/固体系,考虑固体中的横波,建立严格的流固耦合界面条件,可以得到比较准确的能带结构。(2)根据表面弹性理论,通过在纳米声子晶体的表／界面上运用Young-Laplace平衡方程考虑表／界面效应,采用DtN映射法计算了纳米孔和纳米夹杂的二维声子晶体能带结构,并分析了表／界面效应对能带结构的影响。研究表明：表／界面效应可由一个与表面弹性模量、表面残余应力、基体材料剪切模量以及孔或夹杂的半径等有关的无量纲化参量来表征,通过该参量可定量分析表／界面效应对能带结构的影响。该参量为零表示不考虑表／界面效应；该参量为负数(或正数),所有的能带以及带隙(如果存在的话)都会降低(或升高)；该参量的绝对值越大,表／界面效应越明显等。(3)推广DtN映射法用于含弱连接界面声子晶体的能带结构计算,建立了三相模型和弹簧界面模型,并对二者的结果进行了比较和分析。反平面纯横波模态下,弹簧界面模型的能带结构中虽不同于三相模型存在大量表示局域在散射体或包覆层中的波模态的平带,但在低频位置出现一局域共振带隙,带隙宽度随弹簧刚度系数的增大而增大,但频率也升高。这说明弹簧界面越“软”,局域共振作用越强,从而使带隙频率降低,但带隙宽度明显减小。随着弹簧刚度系数的增大,局域共振带隙逐渐转变为Bragg散射带隙,带隙宽度迅速增大。