设（X,T,μ,d）是以d为度量的测度动力系统.如果T:X→X是关于μ的一个保测变换,Poincaré常返定理告知:对μ几乎处处的x ∈ X,#12然而,本质上这只是一个定性的结果.这并没有告诉我们一个点的轨道将以何种速度回到初始点或者回到初始点的一个邻域.1995年,Hill和Velani[1]首次介绍了收缩靶理论.任意的x0 ∈ X,设φ:N →R+,他们研究了下面集合S（T,φ）={:x ∈ X:d（Tnx,x0）<φ（n）对无穷多个 n ∈ N 成立}的Hausdorff维数.事实上,收缩靶问题有以下三个方面引起了人们的广泛关注:固定的收缩靶型问题,覆盖型问题,定量的常返型问题.本文主要研究了β-动力系统（[0,1],β）中的若干收缩靶问题.全文分为六章.前两章分别介绍了相关的研究背景,预备知识以及我们的结果.接下来的三章是我们结果的证明.在第三章中,我们研究了β-动力系统中修正的收缩靶问题.我们知道Tan和Wang[2]及 Shen 和 Wang[3]分别计算了集合R（Tβ,φ）,S（Tβ,φ）（见公式（1.1）,（1.2））的Hausdorff维数.而这两个集合有着相同的维数公式.因此,我们想知道在β-动力系统中是否存在统一的方法刻画这两个集合的Hausdorff维数?所以,这导致了一个修正的收缩靶问题.定义W（f,φ）= x∈[0,1):|Tβnx-f（x）|<φ（n）对无穷多个 n ∈ N 成立},其中f:[0,1]→[0,1]是Lipschitz函数.我们确定了集合W（f,φ）的Hausdoff维数.在第四章中,我们考虑了β-动力系统中联立的动力丢番图逼近问题.继Hill和Velani[1]工作之后,数学家们在不同的动力系统中研究收缩靶集合的Lebesgue测度和Hausdorff维数,已经建立了一个比较完整的理论.然而,对于高维情况的收缩靶问题,我们几乎不了解.对任意的x0,y0∈[0,1].设Ψi（i=1,2）是定义在自然数集N上的正函数.定义W（Tβ,Ψ1,Ψ2）={（x,y）∈[0,1]2:|Tβnx-x0|<Ψi（n）,|Tβy-y0|<Ψ2（n）对无穷多个n∈N成立.我们确定了集合W（Tβ,Ψ1,Ψ2）的Lebesgue测度和Hausdoff维数.在第五章中,我们改变了集合W（Tβ,Ψ1,Ψ2）中的误差函数,使得收缩率取决于要逼近的点.因此这比传统的正误差函数Ψ提供更好的逼近性质.误差函数依赖于待逼近的点显然增加了问题的难度.定义E（Tβ,f,g）={（x,y）∈[0,1]2:|Tβnx-x0|<e-Snf（x）,|Tβny-y0|<e-Sng（y）对无穷多个n ∈ N成立},其中Snf（x）=∑n-1 j=0 f（Tβjx）.我们证明了集合E（Tβ,f,g）的Hausdoff维数与压力函数有关.最后,我们把本文的主要结果进行了总结.与此同时,我们也提出了一些可以研究的收缩靶问题.