编码理论中最主要的课题之一是如何构造具有好的参数的码,从而使其具有各种优良的性能.本论文研究了代数编码里的一些最优构造问题,以及编码理论在量子编码和分布式存储系统中的一些应用.常循环码作为循环码的一种推广,既有很好的代数结构,又在工程中有着许多应用,因此它是一类十分重要的代数码.Ding和Ling在2013年给出了一种q-多项式方法来研究循环码.在本文第二章中,我们将他们的结果进一步推广到常循环码的情形,并建立了用这种q-多项式方法研究常循环码的理论基础.由此,我们还构造了许多类新的最优的或者几乎最优的常循环码.最大距离可分（MDS）自对偶码的参数完全由其码长决定.其最基本的问题之一就是确定所有的正整数n,使得存在一个码长为n的q元MDS自对偶码.当q是偶数时,这个问题已经被Grassl和Gulliver在2008年完全解决.当q是奇数时,已有一些学者得到了部分结果.在本文第三章中,我们将利用广义Reed-Solomon码及其扩展码构造了六类新的MDS自对偶码.特别地,一些已有的结果可以作为我们结果的特殊情形.确定一个线性码的所有深洞（deep hole）对于它的译码有着十分重要的意义.Reed-Solomon码的深洞问题已经被国内外许多学者广泛地研究.Gabidulin码是Reed-Solomon码的一种q-类比,它不仅是Hamming距离意义下的MDS码,还是秩距离（rank distance）意义下的极大秩距离可分（MRD）码.本文第四章将同时研究Gabidulin码在秩距离和Hamming距离意义下的深洞问题.我们给出了一个向量到Gabidulin码的距离的下界,并由此确定了Gabidulin码一大类深洞.对于几类特殊的Gabidulin码,我们也得到了一些其他不同的深洞.量子纠错码在量子计算和量子通信中扮演着重要的角色.同经典编码一样,构造具体参数的量子码使其具有好的纠错性能是量子编码里一个十分重要的课题.Hermitian构造法搭建了用经典码去构造量子码的桥梁.达到量子Singleton界的量子码称为量子MDS码,这是最常见的最优量子码之一.在本文第五章中,我们利用有限域的一些加法子群和乘法子群以及它们的陪集,并通过经典的广义Reed-Solomon码及其扩展码构造了许多类新的量子MDS码.本文中构造的q元量子MDS码的极小距离都可以超过q/2.我们的一些构造推广了已有的结果,并且一些量子MDS码的极小距离在相同码长下相比之前已得到的结果可以有更大的取值范围.具有纠缠辅助态的量子码（entanglement-assisted quantum error-correcting code）是量子纠错码的一种推广.在本文第六章中,我们通过广义Reed-Solomon码及其扩展码构造了几类MDS码,并确定了其在Euclidean内积或Hermitian内积下的壳（hull）的维数.我们构造的MDS码的壳的维数几乎都可以取到所有可能的值.此外,我们还将这些结果应用到具有纠缠辅助态的量子MDS码的构造中,得到了几类新的纠缠辅助量子MDS码,其极大纠缠态的数目也可以取到几乎所有可能的值.特别地,我们构造了几类新的码长n>q的q元纠缠辅助量子MDS码.在一个分布式存储系统里,当一个存储节点失效时,r-局部修复码（r-LRC）可以通过至多其他r个节点来修复该失效节点.而当多个节点同时失效时,就需要引入（r,δ）-局部修复码（（r,δ）-LRC）使其能成功修复损坏的节点.一个r-局部修复码可以看成是一个（r,2）-局部修复码.达到Singleton类型界的（r,δ）-局部修复码称为最优（r,δ）-局部修复码.同经典线性码一样,对于给定的q,我们期望构造码长尽可能大的q元最优（r,δ）-局部修复码.给定有限域的大小q以及极小距离3或4时,Luo等人最近构造了一类码长可以任意大的q元最优r-局部修复码.在本文第七章中,我们将他们的结果推广为一般的（r,δ）-局部修复码.具体地说,当d满足δ+1≤d≤2δ时,我们利用循环码构造了几类q元最优的（r,δ）-局部修复码,其极小距离是d,而码长可以任意大.