图谱理论是图论研究的一个非常活跃而又重要的研究领域,它在量子化学、统计力学、计算机科学、通信网络以及信息科学中均有着广泛的应用.在图谱理论中,为了研究图的性质,人们引入了各种各样的矩阵,诸如图的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵、关联矩阵、距离矩阵等等.这些矩阵与图的结构都有着密切的联系.图谱理论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性质反映出来.这里所指的矩阵的代数性质,主要是指矩阵的特征值性质,例如谱半径,谱唯一性,谱展,能量等等.在上面所提及的矩阵中,最重要的两个就是图的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵.本文主要对图的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的谱半径以及谱展进行研究,试图建立它们与图的结构参数之间的一些关系.本文的主要内容如下：(一)在第一章中,我们首先回顾了图论的演变,接着介绍了本文所研究的一些图谱理论问题的背景和进展.最后引入了相关问题的一些基本概念和记号.(二)在第二章中,我们讨论了图的邻接谱半径与图的结构参数之间的关系.在文献[119]中,E.R. van Dam刻画了直径给定的连通图中最大邻接谱半径的极图.这里,我们刻画了直径给定的二部图中最大邻接谱半径的极图以及围长给定的双圈图中最大邻接谱半径的极图.(三)在第三章中,我们首先给出了关于拉普拉斯谱半径的一个边嫁接定理,作为它的一个应用,我们刻画了围长给定的双圈图中最大拉普拉斯谱半径的唯一极图.此外,我们获得了图的拉普拉斯谱半径关于直径的一个上界并刻画了直径给定的图中最大拉普拉斯谱半径的极图.(四)在第四章中,我们研究图的谱展问题.图的邻接谱展是指其邻接矩阵的谱半径与最小特征值之差.而图的拉普拉斯谱展被定义为其拉普拉斯谱半径与代数连通度之差.我们首先研究了无穷型双圈图的邻接谱展及相应的极图,然后研究了一般图的拉普拉斯谱展.(五)在第五章中,我们讨论了图的距离谱半径与团数之间的关系.我们分别刻画了团数给定的连通图中达到最大与最小距离谱半径的极图.