加权射影直线上凝聚层的有界导出范畴上的有界t结构

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本文是一篇关于t结构的分类的文章。其主要目的是描述拟亏格小于等于1的加权射影直线上凝聚层的有界导出范畴上的有界t结构。从我们的描述中可以看到这些t结构的分类中的组合可以归约到分类表示有限的有限维遗传代数的有限维右模的有界导出范畴上的有界t结构的分类中的组合。本文主要内容分为四个部分(第2-5章)。第一部分,即第2章,包含了 t结构的一些预备知识和结果。在§2.1中,我们回顾了 t结构的基本定义和性质。在§2.2中,我们介绍了宽度有界的t结构和HRS倾斜这种构造t结构的重要方法。在§2.3-2.5中,我们回顾了三角范畴的粘合,可允许子范畴,粘合t结构以及粘合得到的t结构的一些性质。在§2.6中,我们回顾了 Ext-投射对象,并在一定条件下用例外的Ext-投射对象建立与给定t结构相容的粘合。在§2.7中,我们回顾了遗传范畴的一些事实,包括Happel-Ringel引理,并把遗传范畴的有界导出范畴中的半倾斜对象与例外序列联系起来。在§2.8中,我们回顾和证明了有限维代数上有限生成模范畴的有界导出范畴上的有界t结构的一些事实,特别地,我们回顾了 Konig-Yang对应中代数t结构(即核有限长的那些t结构)与半倾斜对象的等价类之间的一一对应(对于有限维代数的有限维模范畴的有界导出范畴而言)。在§2.9中,我们描述了循环箭图的有限维幂零表示范畴的有界导出范畴上的有界t结构。第二部分,即第3章,包含了加权射影直线的一些预备知识和结果。在§3.1中,我们回顾了加权射影直线相关的基本概念和性质。在§3.2中,我们回顾了下Auslander-Reiten理论。在§3.3中,我们回顾了拟亏格≤1的加权射影直线上向量丛的分类和一些重要性质。在§3.4中,我们回顾了对一些例外序列的垂直范畴的描述。在§3.5中,我们证明加权射影直线X上凝聚层范畴coh X中一些态射空间始终非零。在§3.6中,我们考察了 cohX中的满例外序列,并证明了它们某些时候有某些非常简单的项。在§3.7中,我们给出了 coh X中扭对的一些预备性描述,并建立了基本倾斜层的同构类、某些cohX中的扭对、某些Db(X)上有界t结构之间的一一对应(其中Pb(X)是coh X的有界导出范畴),最后我们考察了 cohX中某些扭对通过HRS-倾斜给出的t结构的核的Noether性和Artin性。第三部分,即第4章,旨在描述拟亏格≤1的加权射影直线X上凝聚层范畴的有界导出范畴Db(X)上有界t结构。在§4.1中,我们考察并描述了能限制到扭层构成的子范畴的有界导出范畴Db(cohoX)上的那些有界t结构。在§4.2中,我们考察了即使在Db(X)的正合自等价群作用下亦不能降到Db(coh0X)上的那些有界t结构的性质。特别地,我们证明了这样的t结构是代数t结构,其核中只有有限多个不可分解对象,且这些不可分解对象都是例外的。在§4.3中,我们证明了Db(X)中半倾斜对象的一些性质。这主要是通过前面的满例外序列的一些性质得到,而利用Konig-Yang对应,这也能给出了有界t结构的一些信息。在§4.4中,我们完成了对Db(X)上有界t结构的描述。描述中我们主要用到HRS-倾斜和粘合。在§4.5中,我们利用对有界t结构的描述给出了对coh X中的扭对一个描述。第四部分,即第5章,旨在证明X的拟亏格≤1的情形下Db(X)上有界t结构的核何时导出等价到coh X可以用Db(X)的Serre函子相对于所给t结构的右t-正合性来刻画,这给出了我们的主要结果(即对t结构的描述)的一个应用。我们猜测这个结果对任意的加权射影直线都对,并在结尾处提出了一个可能的办法。
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