有限环是代数学中最基本也是最重要的研究对象之一，环论中许多结论都是由它推广而来的。它与群论、模范畴、组合数学、拓扑学、图论等众多的数学分支有着联系的紧密，并在工程科学和通信科学等领域中有着重要的应用。特别是近二三十年以来，由于计算机技术及互联网的发展，编码理论发展十分迅速，从而更进一步推动了有限环的研究。伽罗瓦环GR(p”，r)是一类非常重要的有限环，它是有限局部环Zpn的伽罗瓦扩张，也是有限域Fpr的重要推广。很多学者对伽罗瓦环进行了研究，并将其广泛应用到有限域所应用到的领域。本文的主要研究对象是伽罗瓦环的高斯扩张和四元数扩张。　　首先在第一章里概述了研究的背景以及伽罗瓦环的定义及相关性质，并给出了文章中出现的有限环和有限域上的一些基本概念和结论。　　在第二章我们主要考虑伽罗瓦环的高斯扩张。第一节主要研究并确定了伽罗瓦环高斯扩张的极大理想、贾克布森根和素谱。在第二节里，我们给出了本章的主要结论之一：伽罗瓦环高斯扩张的单位群结构定理。用图论的工具去研究代数结构是最近20年来才产生的一个新型研究领域，引发出了很多有趣的结果和问题。在本章的第三节里，我们主要研究了伽罗瓦环高斯扩张的零因子图的一些性质，确定了零因子图的等价类图。特别地，刻画了零因子图的直径和围长，并且给出了它是平面图的充要条件。本章第四节里，我们给出一个将伽罗瓦环上的定理提升到伽罗瓦环的高斯扩张上的例子。　　最后在第三章中我们考虑伽罗瓦环的四元数扩张。研究了它的单边及双边理想的结构，确定了它的零因子，素谱，贾克布森根以及单位群结构。