分数阶导数在力学(粘弹性和热传导等)、生物化学(癌细胞和蛋白质的模型)、电气工程(超声波和电报传输)、药物和机械载荷等领域中应用十分广泛.许多研究者利用分数阶微分方程(FDEs)去描述一些学科规律和现象,并建立数学模型来解决问题.然而理论上,人们很难获得FDEs的解析解,即使得到解析解,其复杂的表达式不便于实际上的应用.因此研究FDEs的数值解法以及其他相关的高效算法是有必要的.本文研究分数阶Telegraph方程的快速高精度有限差分格式.此方程包含两个不同阶的Caputo分数阶导数,需要用特殊的技巧,来逼近分数阶导数.另外本文建立了高精度、高效的差分格式以提高运算效率.与此同时,差分格式的复杂性会造成理论分析上的困难.针对以上问题,本文提出分数阶Telegraph方程的高精度快速差分格式以及其紧差分格式.内容的安排如下:第一章主要简单论述微分方程和分数阶微分方程的发展过程、分数阶微分方程理论前沿、发展程度以及研究分数阶微分方程数值解的必要性.然后讨论近10多年来的研究现状以及研究成果,包括几个重要的分数阶导数的逼近、高效数值算法以及各种分数阶方程数值解的研究成果.最后介绍了本文的分数阶Telegraph方程以及它所带来的研究难点.第二章首先介绍几种重要的分数阶导数,然后建立高精度高效的差分格式,其中我们使用了带有Fast evaluation的FL2-1_σ公式来对两个Caputo型分数阶导数进行逼近,在空间上使用二阶离散方法,格式的精度为O(τ~2+h~2),其中τ和h分别是时间步长和空间步长.本文采取一些技巧,用能量法证明其无条件稳定性以及无条件收敛性.最后使用MTALAB进行数值实验,列出实验数据来验证理论上的可行性以及格式的高效性.第三章给出了快速高精度的紧差分格式,其精度能达到O(τ~2+h~4).然后利用紧格式相关的一些引理,严格证明所建立的紧差分格式是无条件稳定以及无条件收敛.另外,我们进行数值实验来验证理论分析的可行性.