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无约束的和约束的矩阵方程及相应的最小二乘(L-S)问题在诸多方面有应用背景,引起科学家们的广泛兴趣.例如在粒子物理学和地质学,Sturm-Liouville逆问题,自动控制理论的逆问题,振动理论的逆问题,数码影象和信号处理,航空投影测量学,有限元及多维逼近问题等方面都有重要的作用.该文利用数值线性代数的系列工具——矩阵的奇异值分解(SVD),广义奇异值分解(GSVD),商奇异值分解(QSVD),标准相关分解(CCD),极分解(PD),矩阵的广义逆,向量拉直算子和Kronecker乘积,Hilbert空间中的对偶理论和逼近定理,线性流形等——解决了下列问题:1.得到了逆特征值问题f<,1>(X)=0有可对称化解,可对称半正定化解,可对称正定化解的充分必要条件和解的通式,同时解决了解的最佳逼近问题.2.得到了方程f<,2>(X)=0具有对称解,反对称解,半正定解的充分必要条件和解的表达式.3.首次用CCD分解得到了方程f<,2>(X)=0在R,SR和AR上解集合中的极小范数解.4.得到了矩阵方程f<,4>(X)=0在SR上的极小范数解,同时导出了此方程具有反对称解的充分必要条件和解的通式,解决了相应的L-S问题f<,4>(X)=min.5.得到了广义Sylvester方程f<,5>(X,Y)=0具有反对称最小二乘解的充分必要条件和解的通式以及解的最佳逼近问题的解.6.得到了广义Lyapunov方程f<,7>(X,Y)=0具有反对称解的充分必要条件,解的通式及解的最佳逼近问题的解.最后讨论了六类线性流形上矩阵方程f<,3>(X)=0分别具有对称解,反对称解和对称半正定解的条件,得到了方程和L-S问题解的通式,同时解决了解的最逼近问题.此博士论文得到国家自然科学基金的资助.