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本篇论文主要应用Lyapunov-Schmidt约化方法研究两类非线性椭圆型方程集中解的存在性,其中包含奇异摄动问题和预定曲率方程.全文一共分三章:在第一章中,我们主要介绍本文所考虑问题的研究背景及国内外研究现状,并且简要介绍本文的主要工作.在第二章中,我们研究下列奇异摄动问题(?)的集中解的存在性.其中Ω是Rd中具有光滑边界的有界区域,指标p>1,∈是一个正的小参数,V(y)是Ω上一致正的光滑位势函数,v是(?)Ω的单位外法向量.关于集中现象发生在与边界正交的内部曲线的情形,A.Ambrosetti,A.Malchiodi和W.-M.Ni在2004年(p.327,Indiana Univ.Math.J.)提出如下猜想:如果K是和正交的k-维流形,并且K关于泛函ιKVp+1/p-1-1/2(d-k)既是稳定的又是非退化的,那么至少存在一列∈j→0使得问题(0.0.1)存在集中在K附近的解.这一章的主要目标是在二维的情形下验证上述猜想.具体来说,假设曲线r与边界(?)Ω正交于两点并将区域Ω分为两部分,并且曲线r关于泛函ιΓVp+1/p-1-1/2是稳定的和非退化的.我们利用无穷维Lyapunov-Schmidt约化方法证明了问题(0.0.1)存在具有一维集中现象的解ue并且集中现象发生在与区域边界(?)Ω正交的内部曲线Γ上.在第三章中,我们研究了以下预定曲率方程-Δu = Q(|y’|,y")uN+2/N-2,u>0,y=(y’,y")∈R2×RN-2.其中Q(|y’|,y")是非负有界函数.利用有限维Lyapunov-Schmidt约化方法和局部Pohozaev恒等式我们证明了,如果N≥5,Q(r,y")有一个稳定的临界点(r0,y0"),并且r0>0,Q(r0,y0")>0,那么方程(0.0.2)存在无穷多个非径向对称的正解,并且它们对应的能量可以任意大.我们将利用局部Pohozaev恒等式来确定爆破解的集中点的位置.值得一提的是,这里的集中点(ro,y0")包含位势函数Q(y)的鞍点.