在图论中，为了研究图的性质，人们引进了各种各样的矩阵，诸如图的邻接矩 阵，关联矩阵，距离矩阵，拉普拉斯矩阵等等，这些矩阵与图都有着自然的联系， 代数图论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性 质反映出来，这里所指的矩阵的代数性质，主要指矩阵的特征值。 在上面所提到的矩阵中，最重要的有两个：图的拉普拉斯矩阵和邻接矩阵。 图的拉普拉斯矩阵的特征值和邻接矩阵的特征值都是图的在同构下的不变量， 图的邻接矩阵及其特征值是代数图论的一个基本的研究课题。在过去的几十年 中，人们对图的邻接矩阵的特征值已经进行了大量的研究(见文献[1]-[39],[46] -[64],[70]-[87],[101]-[105])和图的邻接矩阵相比，由于在拉普拉斯矩阵中含有图 的顶点度的信息，因此图的拉普拉斯矩阵的特征值与图的很多不变量有着更加 密切的联系.正如Mohar[79]所说：图的拉普拉斯矩阵的特征值更能反映它的图 论性质，所以，对图的拉普拉斯矩阵的特征值的研究越来越受到人们的广泛关注。 人们对图的拉普拉斯矩阵也经进行了一些的研究(见文献[9],[16],[17],[40]-[45], [66]-[94],[99]-[108])。 人们对拉普拉斯矩阵的研究，可以追溯到160多年以前，对于邻接矩阵的研 究时间就更长了，Ramsey理论相对来说就是一个年轻的图论分支了.可参见 文献[109]-[115]。我们知道在组合数学中有这样两个有趣的断言：一，在六个人 的派对中，总有三个人他们互相都认识或者互相都不认识。二，将无限集N上 的完全图中的边用红蓝两种颜色着色，那么一定存在一个无限集MCN，使得 M中的所有的边着相同的颜色.上面这两个断言都是Ramsey在1930年发表 的一个定理的两种特殊情形，这个定理后来从各方面被发展，从而形成了日后的 Ramsey理论。Ramsey理论是一个广博而丰富的组合分支，很多其他数学分支中 的技巧都被用到了这一理论的研究中，并且它的研究结果不仅对图论和组合数学 来说非常重要，对集合论、逻辑、分析、代数和几何理论来说也是相当重要的。 本文的研究主要分如下三个方面：一是对双圈图的邻接谱半径的研究，二是 对双圈图的拉普拉斯谱半径的研究，三是对Ramsey理论中Turán数的研究. 图的邻接谱半径是指图的邻接矩阵的最大特征值，在本文的第二章中，根据 邻接谱半径的定义证明了广义夺邻定理(定理2.2.1)，并利用此定理以及嫁接运 算，收缩内部路中边等技巧，研究了阶数为n的双圈图的邻接谱半径，给出了具 有最大邻接谱半径的前三个双圈图以及它们对应的谱半径. 图的拉普拉斯谱半径是指图的拉普拉斯矩阵的最大特征值，在本文的第三章 中，我们利用拉普拉斯特征多项式，研究了具有固定阶数的双圈图的拉普拉斯谱 半径且给出了具有最大拉普拉斯谱半径的前四个双圈图以及它们对应的谱半径。 对于Turán数的研究是Ramsey理论研究的重要部分之一。在本文的第四章 中，我们利用有限域上的线性方程组和有限域上的范德蒙矩阵以及“临界零和序 列”等代数方法证明了：当m≥3时，对任意一个满足e≠5,4≤e≤2ch(Fq)(其 中ch(Fq)是有限域Fq的特征)的自然数e，过Wenger构造的图Hm(q)中的任 一点都有长为2e的偶圈，从而说明了由图Hm(q)不可能得到ex(n;C2m)(m≠ 2,3,5)的下界。 关键词：图；拉普拉斯矩阵；邻接矩阵；拉普拉斯特征值；特征多项式；特征向量；拉普拉斯谱半径；上(下)界；双圈图；加边运算；嫁接运算；剖分运算；有限域；向量空间；线性方程组