代数体函数是亚纯函数的推广，其理论的一个重要应用是求解常微分方程大范围有限多值解的问题，随着亚纯函数理论的不断深入发展，代数体函数的相应研究也取得了一系列的进展.近几十年以来，代数体函数的研究方向主要集中在值分布理论、奇异方向和奇异点的存在、唯一性定理和正规族定理等等. 本文研究的课题在这几个方面都有涉及.具体来说，一是结合代数体函数的导数得到代数体函数的第二基本定理的一个推广，它也是亚纯函数Hayman不等式的推广；二是针对200.年高宗升和王凤竹首次研究的涉及重值的Borel方向的存在性，提出了单位圆内代数体函数是否存在涉及重值的Borel点的问题，并利用型函数统一证明了单位圆内无穷级、有穷正级和部分零级的代数体函数存在涉及重值的Borel点；三是讨论了平面上零级代数体函数的强Borel方向是否存在，并证明两类零级代数体函数存在强Borel方向，而且强Borel方向一定是2003年郑建华定义的新的奇异方向即T方向；四是将前人的某些唯一性定理作了推广，并首次研究了两个不同代数体函数在具有一定数量的公共值点集后会有什么相同性质；五是在孙道椿、杨乐和柳学坤等人的研究成果的基础上，证明了几个关于正规族的结果，得到目前最好的结论. 线性微分方程复振荡是近二十多年来很热门的研究课题之一，在这方面有许多的优秀成果和研究问题.本文是选取其中一个问题，将其讨论推广到一般的高阶线性微分方程的情形(包括齐次的和非齐次的)，得到了方程的解的增长级的精确估计以及零点收敛指数的估计. 本文共分六章.第一章是绪论，主要回顾代数体函数理论的发展历史和研究现状，回顾线性微分方程复振荡中我们所研究的这个问题的发展状况，并简要地介绍了代数体函数理论的基本知识.第二章证明平面上两类零级代数体函数存在强Borel方向，单位圆内所有无穷级、有穷正级和部分零级代数体函数存在涉及重值的Borel点.第三章证明了代数体函数的一个正规族定理和几个推论.第四章证明代数体函数的几个更广泛的唯一性定理，比较了两个不同代数体函数在具有一定数量的公共值点集时所具有的相同性质.第五章得到了代数体函数的第二基本定理的一个推广形式.第六章讨论了两类齐次和非齐次的高阶线性微分方程并得到其解的级和零点收敛指数的精确估计.