【摘 要】
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本论文的研究内容属于凸几何分析理论,该理论的核心内容是Brunn-Mink-owski理论Rogers和Shephard（[125,126]）首先提出了影子系统的概念,本文主要致力于利用影子系统这个工具来研究凸几何分析理论中的仿射等周不等式以及相关的极值问题.在第二章中,我们首先给出了凸体K的Orlicz平均带体ZφK的概念,说明了凸体的Orlicz平均带体也是一个凸体.并且研究了Orlicz平均
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本论文的研究内容属于凸几何分析理论,该理论的核心内容是Brunn-Mink-owski理论Rogers和Shephard（[125,126]）首先提出了影子系统的概念,本文主要致力于利用影子系统这个工具来研究凸几何分析理论中的仿射等周不等式以及相关的极值问题.在第二章中,我们首先给出了凸体K的Orlicz平均带体ZφK的概念,说明了凸体的Orlicz平均带体也是一个凸体.并且研究了Orlicz平均带体算子的连续性问题,给出了凸体的Orlicz平均带体与其本身的体积比是仿射不变的,最后利用凸体的影子系统这个工具得到了有关凸体的Orlicz平均带体与其自身的体积比的极值.本章中的Orlicz平均带体的概念以及主要结论推广了张高勇教授于1991年在Geom.Dedicata上的部分成果.张高勇教授于1998年在Amer. J. Math上的研究成果中建立了径向平均体,通过径向平均体得到了著名的Rogers-Shephard不等式以及著名的Petty投影不等式的逆形式.在第三章中,我们根据凸体的对偶性质,建立了凸体K的Orlicz平均体HφK,说明了凸体的Orlicz平均体是一个凸体.并且给出了Orlicz平均体的一些基本性质.最后,有关凸体的Orlicz平均体与其自身的体积的仿射等周不等式也被得到.在本章中,主要结论的证明过程也体现了凸体的影子系统这个工具的有用与强大.在第四章中,我们继续对Orlicz平均带体算子的研究,讨论了Orlicz平均带体算子作为二元算子的应用.本章主要应用Gardner, Hug和Weil [39], Pfiefer [121], Zhang [162]和Lutwak, Yang和Zhang [98]等人的技术和思想,也得到了有关Orlicz平均带体算子的一个仿射等周不等式.在第五章中,我们将建立极体和对偶星体的Orlicz-Brunn-Minkowski不等式,它们可被理解为已有不等式在Orlicz-Brunn-Minkowski理论中的对偶形式.
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