组合设计理论的发展已经和其他很多数学学科相互交融,比如群论、图论、教论、有限域和有限几何等等。同时,组合设计也在其他各个学科领域中得到了越来越多的应用,比如试验设计、编码、密码、计算机科学和生物信息技术等等。组合结构的引入为这些领域提供了强有力的工具。 本文着重研究了混合函数和格子区组的存在性。这两种组合结构分别来源于密码学和分子生物学的应用问题。 为了扩展密码系统的消息空间,同时还要保持系统的安全性,Ristenpart和Rogaway定义了混合函数,用于混合来源于同一个集合的两个输入。Stinson扩展了混合函数的定义,使得函数的两个榆入可以来自不同大小的两个集合。同时,Stinson还给出了广义混合函数的一般性构造,基本解决了广义混合函数的存在性问题(剩下10个参数没有解决)。在本文中,我们通过直接构造和递归构造的方法,证明了广义混合函数在这10个参数下也是存在的。 在分子生物学里,群试是一个试验设计的基本工具。例如,用来有效的在DNA库中筛选出包含某些特定因子的正的克隆。格子区组设计正是诞生于此,这个概念第一次由Fu,Hang,Jimbo,Mutohand和Shiue提出。因为格子区组在DNA库筛选中的高效率性和方便性,使得越来越多的人对它感兴趣,从而对它进行广泛地研究。本文列出了在格子区组存在性研究中的一些主要结果,并着重对可分解的D3×3(K8(9))的存在性进行了研究。可分解D3×3(K8(9))存在的必要条件是s≡1(mod 4)。我们先利用差方法构造了几个必要的小参数设计,再利用这些设计递归构造证明了当s=8n+1,其中n {2,3,6}时,可分解D3×3(Ks(9))的存在性。对于s=17,25,49,以及s=8n+5时的情形,我们已经得到了一些关键的设计,整个问题的解决还需要继续研究。