【摘 要】
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结合Yang-Baxter方程是经典Yang-Baxter方程的结合版本,在数学物理中有非常广泛的应用.权是0的Rota-Baxter算子可以视为经典Yang-Baxter方程的算子型.Ebrahimi-Fard引入了非齐次结合Yang-Baxter方程,并由此方程诱导出了加权极小双代数（统一了Joni-Rota型和Loday-Ronco型极小双代数）.近些年,结合Yang-Baxter方程和（加
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结合Yang-Baxter方程是经典Yang-Baxter方程的结合版本,在数学物理中有非常广泛的应用.权是0的Rota-Baxter算子可以视为经典Yang-Baxter方程的算子型.Ebrahimi-Fard引入了非齐次结合Yang-Baxter方程,并由此方程诱导出了加权极小双代数（统一了Joni-Rota型和Loday-Ronco型极小双代数）.近些年,结合Yang-Baxter方程和（加权）极小双代数已经成为代数学中的一个研究热点,受到了许多学者的关注.本文主要围绕结合Yang-Baxter方程和（加权）极小双代数进行研究,主要内容如下:（1）改进了双边交叉积代数A#σHτ#B和双边smash余积余代数A×H×B构成双代数的充分必要条件,使Majid double双积中的条件b[1]（?）a0（?）b[0]（?）a-1=a（?）b成为必要条件之一.（2）提出了混合BiHom-双代数的概念,给出了余拟三角混合BiHom-双代数的刻画,由此引入了余结合BiHom-Yang-Baxter对和余结合BiHom-Yang-Baxter方程的概念,并得到了余拟三角极小BiHom-双代数.作为Rota-Baxter余代数的推广,Rota-Baxter BiHom-余系统也被引入,它的解可以由余结合BiHom-Yang-Baxter对提供.此外,本文还研究了余结合BiHom-Yang-Baxter对,Rota-Baxter BiHom-余系统,ωψ-Rota-Baxter-余系统,BiHom-dendriform余代数,BiHom-pre-李余代数,Rota-Baxter配对BiHom-余模等之间的关系.（3）给出了各种代数结构的匹配BiHom-型,如Rota-Baxter结合（或李）代数,（tri）dendrifor-m代数,pre-李代数,结合Post李代数,相容李代数,Zinbiel代数,Poisson代数,相容结合代数等,并研究了它们之间的关系.（4）引入了权是（λ,γ）的结合（BiHom-）Yang-Baxter对概念,它可以提供弯曲的Rota-Baxter（BiHom-）系统的解.还给出了（拟三角）协变BiHom-双代数的等价刻画,证明了权是-1的结合BiHom-Yang-Baxter方程可以由单位的拟三角协变BiHom-双代数得到.最后,我们提出了两种从Rota-Baxter（BiHom-）配对模构造（BiHom-）pre-李模的方法.（5）得到了Rota-Baxter算子与Turaev（Hopf）群-（余）代数的自然相容条件,从而引入Rota-Baxter Turaev（Hopf）群-（余）代数的概念.得到了Rota-Baxter Turaev群代数（简称T-代数）的两个刻画:一个通过Atkinson分解,另一个通过T-拟幂等元素.讨论了一些相关的Turaev群代数结构（如（tri）dendriform T-代数,Zinbiel T-代数,pre-李T-代数,李T-代数等）之间的关系,同时讨论了维数是2,3和4的一些代数例子.最后证明了Rota-Baxter Poisson T-代数可以得到pre-Poisson T-代数,pre-Poisson T-代数可以得到Poisson T-代数.
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