【摘 要】
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丢番图方程是数论中最古老的一个分支,其内容极其丰富,与代数数论、代数几何、组合数学等有密切的联系。近三十年来,这个领域又有其重要的发展,如在信息编码理论、代数数论、
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丢番图方程是数论中最古老的一个分支,其内容极其丰富,与代数数论、代数几何、组合数学等有密切的联系。近三十年来,这个领域又有其重要的发展,如在信息编码理论、代数数论、以及丢番图分析理论中都要用到不少类型的三次丢番图方程的结果,这就迫使我们有必要研究三次丢番图方程的一些基本类型的解法。对于一次和二次丢番图方程的解法,已经基本成熟,而对于三次丢番图方程的解法,还没有一般的结论,有待于进一步讨论。数论界的前辈柯召、孙琦等人对x~3±( p~k)~3 = Dy~2这一类型的丢番图方程进行了研究,其中D不含6 k +1型素因子,得出了一般性结论。而对于D含有一个6 k +1型素因子的情况,研究的人尚不多见。本文用初等方法讨论了一类丢番图方程x~3±p~3=Dy~2解的情况,其中D是正整数、无平方因子且含有一个6 k +1型素因子, p为任意素数,给出了该类方程无非平凡正整数解的一些充分性条件。全文共分三部分,主要内容如下:第一章阐述了本文的主要内容、背景和意义,为后面的结论做好准备。第二章给出了p为固定值时,方程x 3±p3=Dy2无非平凡正整数解的一些充分性条件,其中包含四个结论,并给出了严格的证明。第三章给出了p为任意素数时方程x 3±p3=Dy2无非平凡正整数解的一些充分性条件。
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