本文主要研究了两个问题,在文中分别加以阐述.下面就两部分内容作简单介绍.文章的第一部分,探讨了稳态温控问题自适应有限元方法的收敛性.我们知道在实际应用中,自适应有限元方法（参见[2][5][6]）常被用来数值求解最优控制问题.对本文而言,我们将致力于研究稳态温控问题.在文章的开端,首先讨论了当模型问题采用标准有限元逼近时,分别在L2-模和H1-模下得到的后验误差估计.然后,基于上述结果,我们得到了一个误差缩减率.更进一步,结合数据振荡的缩减率,可以构造模型问题的一个自适应有限元算法.在后续部分,我们证明了该算法是收敛的.文章的第二部分,围绕气体在块状纳米材料中的压力扩散行为展开.由于任何固体材料都或多或少地能够渗透过一些气体,气体在固体中扩散的规律与气体自扩散公式有相同的形式.描述扩散行为的基本参量,即扩散系数是由气体一固体组合的性质决定.对于特定的气体,它在不同固体材料中的扩散系数是不同的.因此,对于未知固体材料,研究气体在其内部的扩散系数也能从一方面帮助人们了解它的结构、属性,这对工程领域的研究有着实际的意义.本文通过模拟气体在未知纳米材料块中的压力扩散实验,建立对应的偏微分方程模型,试图反演出气体在固体中的压力扩散系数.借助物理学相关知识,本文将反问题最终转化为最优化问题来处理.由于实验测量数据均为离散值,所以主体部分采用了偏微分方程数值解、数值积分（参见[29][30][31][32]）的方法来处理.最优化问题拟用黄金分割搜索法（参见[26][28][33]）求解.