图的控制集理论是图论研究中的重要课题,在编码理论、计算机科学、通信网络、监视系统和社会网络等领域有广泛的应用。近年来,图的控制集理论的研究内容越来越丰富。Dunbar最早引入图的符号控制数的概念。1998年Haynes等出版了两部专著,较为系统地综述了控制集理论的主要研究成果,包括图的符号控制数、图的减控制数等,这些研究都是针对图的顶点的研究。徐保根等研究图的边控制问题,获得了重要成果。图的边控制不仅与一些实际问题相联系（如局部占优设计问题等）,而且与某些特殊的点符号控制有关。徐保根引入图的减边控制数γ′m（G）并得到两个下界,确定了完全图、圈和轮图的减边控制数。廖万生在此基础上进行研究,给出了图的减边控制数的最好上界,得到了图的减边控制数的两个新下界,确定了一些特殊图（路、Petersen图）的减边控制数。本文在此基础上进行研究。第二章研究树的减边控制数,给出了树的减边控制数的最好下界γ′m（T）≥1和上界γ′m（T）≤α′0（T）,得到了树的减边控制数为1的充要条件,确定了减边控制数为1的树的结构,给出了树的减边控制数为2的必要条件。