【摘 要】
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1965年,Motzkin和Straus引入了图的拉格朗日（Lagrangian）极值的概念,并且建立了图的团数与其拉格朗日极值的联系,即图的拉格朗日极值等于它的最大团的拉格朗日极值,并由此给出了 Turan定理的一个新证明.Motzkin-Straus定理还被成功的应用于最大团问题、图谱理论等领域.这些成功应用引起了人们对拉格朗日极值研究的极大兴趣,Sos和Straus进一步将它推广到超图中,超
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1965年,Motzkin和Straus引入了图的拉格朗日（Lagrangian）极值的概念,并且建立了图的团数与其拉格朗日极值的联系,即图的拉格朗日极值等于它的最大团的拉格朗日极值,并由此给出了 Turan定理的一个新证明.Motzkin-Straus定理还被成功的应用于最大团问题、图谱理论等领域.这些成功应用引起了人们对拉格朗日极值研究的极大兴趣,Sos和Straus进一步将它推广到超图中,超图的拉格朗日极值成为了研究超图中的极值问题的有力工具,超图的拉格朗日极值及其推广还广泛应用于超图的划分、数据挖掘等领域中.在超图的拉格朗日极值的很多应用中,需要估计其上界,然而超图的拉格朗日极值的上界估计却极具挑战性.Frankl-Furedi猜测在具有m条边的r-一致超图中,由colex序最小的m条边的组成的r-一致超图具有最大的拉格朗日极值.本文的研究主要围绕超图的拉格朗日极值估计及其在聚类分析中的相关应用展开.主要取得了如下成果:（1）本文从理论上证明Frankl-Furedi猜想对边数较少的一类3-一致超图成立.即证明了如下定理:设正整数m,t满足（?）,t≤8,那么λm3≤λ（[t-1]（3））。（2）关于Frankl-Furedi猜想的研究多局限于3-一致超图,对一般的r-一致超图（r≥4）这一问题极具挑战性.本文证明了在4-一致超图上Frankl-Furedi猜想的如下定理:设正整数m,t满足（?）的整数,H为一个有t个顶点,m条边的4-一致超图,那么λ（H）≤λ（[t-1]（4））.即证明了 Frankl-Furedi猜想在上述条件下成立.这些结果为Frankl-Furedi猜想提供了支撑.（3）提出了在拉格朗日极值函数中引入补图的结构,修正了拉格朗日极值的定义,给出了广义拉格朗日极值的概念,由此成功的给出并证明了在更宽泛的条件下的一些3-一致超图中的Motzkin-Straus型定理.从而,建立了 3-一致超图的广义图拉格朗日极值和其团数间的联系,这一联系一方面可为3-一致的超图的最大团问题提供启发式线索,另一方面也可为欧几里德空间中标准单纯形上的一类三次齐次多项式优化问题提供组合方面的解决思路.同时,这些结果也为Frankl-Furedi猜想提供了支撑.（4）提出了超图线聚类算法以及支持图像分类的超图降维方法,用超图拉格朗日函数的变形构造聚类得分函数,并在仿真点数聚集和真实图像数据集Corellk上验证了算法的有效性.结果表明,该方法不但分类效果较好,而且收敛速度较快.在图像数据集Corellk上,应用超图模型降维,可以大幅缩短分类时间,而损失较少的分类准确率.
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