本文针对非线性Gronwall-Bellman积分不等式,讨论在偏微分方程、差分方程、时滞型偏微分方程以及弱奇性偏微分方程中新的推广并研究其具体应用.首先,考虑到积分不等式从对常微分方程的研究转化到对偏微分方程的研究是最直接的推广方式,首先研究具有多个非线性函数项的二元积分不等式.通过构造辅助不等式,并利用数学归纳法证明基于辅助不等式的猜想结果,再结合函数之间的内在关系及变量代换技巧,得到方程解的估计并将所得的结果应用于偏微分方程解的有界性、唯一性和连续依赖性.其次,对偏差分方程的定性研究也需要二元和差不等式作为工具.尽管某些积分不等式可以直接离散化为和差不等式,但大多数和差不等式不能通过其对应的积分不等式离散化得到.第三章就建立一些新的非线性和差不等式,包括非线性的混合型以及包含多个非线性函数项的和差不等式.事实上,由于连续形式和离散形式之间的偏差,这给积分不等式的离散化带来一定的困难.本文一方面考虑一元与二元函数不同组合形式,研究两种类型的混合型和差不等式,另一面利用函数之间的单调性强弱,研究更一般形式的非线性和差不等式.采用不同的差分形式和离散化技巧,得到未知函数的界的估计,同时也对差分方程的解的有界性作出研究.随后研究系统控制的稳定性研究中常用到的时滞性积分不等式及离散类似.由于非线性及时滞是系统控制中的主要特点,讨论具有多个非线性函数项的积分不等式与和差不等式.和已有的结果相比,该结果不需要不等式中函数的单调性要求.为了克服多个非线性函数之间单调性不可比的困难,采用单调化的技巧,构造出强单调函数序列并得到方程的解的界.最后,对于二元的非线性弱奇性Wendroff型积分不等式做初步研究.采用修正的Medved方法,对不同的指标组,利用H?lder不等式使其去掉奇性从而得到未知函数的估计并应用到Volterra弱奇性偏微分方程的解的有界性研究.