【摘 要】
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我们知道,许多特殊函数,例如经典正交多项式（Jacobi,Laguerre,和Hermite多项式）,柱函数和超几何函数都是同样类型的二阶常微分方程的解.这种方程称为超几何型微分方程.随着更多特殊函数的不断被引入和研究,超几何型微分方程也衍生出三种离散化形式.本文主要研究Kummer方程的q-模拟和对三种离散化形式的超几何型方程的Rodrigues公式作推广.具体来说:第一章概述了超几何型微分方程
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我们知道,许多特殊函数,例如经典正交多项式（Jacobi,Laguerre,和Hermite多项式）,柱函数和超几何函数都是同样类型的二阶常微分方程的解.这种方程称为超几何型微分方程.随着更多特殊函数的不断被引入和研究,超几何型微分方程也衍生出三种离散化形式.本文主要研究Kummer方程的q-模拟和对三种离散化形式的超几何型方程的Rodrigues公式作推广.具体来说:第一章概述了超几何型微分方程及其标准形式,随后引入了三种离散化形式的超几何型方程.第二章我们先计算q-超几何方程的算子形式,然后归纳出一般形式,由此我们第一次得到Kummer方程的一个q-模拟.为简单我们称它为q-Kummer方程.然后我们建立了q-差分方程情况下的奇点概念.利用微分方程中的Frobenius方法,我们得到了 q-Kummer方程在奇点附近的线性无关形式级数解.在当形式级数解发散的情况下,我们得到两种在一定条件下收敛的积分解.最后利用q-Kummer方程我们得到了关于q-超几何级数1<1与紧邻的四个连带函数间的递推关系.第三章我们推导了超几何型微分方程的第一种离散化形式超几何型q-差分方程的多项式解的表达公式,即q-Rodrigues公式.随后我们给出了q-差分方程情况下伴随方程的两种定义.利用伴随方程我们给出了超几何型q-差分方程除多项式解之外解的两种表达公式.并且举例说明我们推广的q-Rodrigues公式是与超几何型q-差分方程的第二类函数线性相关的.最后一节我们给出了超几何型h-差分方程情况下h-Rodrigues公式的推广.第四章首先给出一般格子上积分的两个定义,并分析他们与q-积分,h-积分的紧密联系.随后受微分方程与q-差分方程情况下线性算子与其伴随算子之间关系的启发,我们给出了非一致格子情况下伴随方程的定义.然后利用得到的伴随方程给出了在非一致格子下超几何型差分方程的除多项式解之外其他解的表达公式.随后利用伴随方程我们也得到了关于一种超几何型特殊函数的三项递推关系.最后与第三章方法类似,利用待定系数法我们给出了更一般的解的表达式.
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